「HNOI 2008」玩具裝箱TOY

首先$O(n^2)$做法是顯然的，使用字首和然後暴力列舉轉移

dp[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
	dp[i] = 1LL << 62;
	for(int j = 0; j < i; j ++) {
		LL x = i - (j + 1) + s[i] - s[j];
		dp[i] = min(dp[i], dp[j] + (x - L) * (x - L));
	}
}

上面的dp轉移方程為：（$s[k]=\sum_{i=1}^kc[i]$

$dp[i]=min(dp[j]+(i - j - L - 1 + s[i] - s[j]) ^ 2) \; (0\leq j < i)$

把與$i,j$有關的分別提出來，令$a_i=s[i]+i-L-1,b_j=s[j]+j$，則：

$dp[i]=min(dp[j]+(a_i - b_j) ^ 2) \; (0\leq j < i)$

假設選了$j$轉移，化簡一下：$dp[i]=dp[j]+(a_i - b_j) ^ 2$

$dp[i]=dp[j]+a_i^2 + b_j^2 -2a_ib_j$

$2a_ib_j+dp[i]-a_i^2 =dp[j]+ b_j^2$

把這看成是$kx+b=y$的直線形式，則斜率為$2a_i$，$x=b_j$，$y=dp[j]+ b_j^2$,截距$dp[i]-a_i^2$

也就是說假設我們用$j$轉移，$y=2a_ix+b$這條直線經過點$P(b_j,dp[j]+ b_j^2)$時，它的斜率$+a_i^2$就是$dp[i]$。

這樣我們每次選擇一個最優的$j$轉移就行了