引入

有時候題目要求一些這樣的問題
1. 求以串$s$ 本質不同的迴文串個數(即長度不同或長度相同且至少有一個字元不相同的字串)
2. 求以位置$i$結尾的迴文串個數。

這時候使用Manacher顯然有點力不從心，我們可以使用一種比較新穎的字串處理工具迴文樹(Palindromic Tree)。

迴文樹的結構

迴文樹其實是由兩棵樹組成的森林，第一棵樹的根節點是

$odd$,第二棵樹的根節點是$even$。每個森林中的節點其實是原串中的一個迴文串。

每個節點儲存以下資訊：

1. $len$ 表示當前節點代表的迴文串的長度。特別的，$len_{odd}=-1$,$len_{even}=1$
2. $fail$ 表示當前節點失配以後可能匹配的最長迴文串(即當前節點的最長迴文字尾)，特別的$fail_{odd}=odd$,$fail_{even}=even$
3. $ch$ 表示當前節點的孩子，其中$ch_a$ 表示在當前字串前後接上字元$a$所形成的新迴文串。

示例:下圖是字串$babbab$的迴文樹(實線表示$ch$,虛線表示$fail$)

其實就是論文1裡的圖啦
不難看出$odd$的子樹儲存的都是奇數長度的迴文串，而$even$的子樹中儲存的都是偶數長度的迴文串。

迴文樹的構造

迴文樹的構造採用增量構造。
假設我們已經構造串$s$的迴文樹。現在要求出在$s$後新增字元$c$的迴文樹。

定理：以新加入的字元為結尾的，且未在$s$中出現的迴文字串最多有$1$個，且必為新串的最長迴文字尾。

所以只需要求出新串的最長迴文字尾即可。不妨設原串$s$的最長迴文字尾為$s_{i..|s|}$，那麼只要$s_{i-1}=c$，則新串的最長迴文字尾一定為$s_{i-1..|s|+1}$,否則轉移到$fail_{s_{i..|s|}}$，繼續之前的操作。

如果新串的最長迴文字尾沒有在迴文樹中，則新建一個節點並找出它的$fail$，方法同上面類似。

迴文樹的複雜度

可以證明一個串$s$本質不同的迴文串不超過$|s|$個，所以狀態數為$O(|s|)$。

而通過勢能分析可以證明前文所述的方法時間複雜度為$O(|s|log\sum)$(使用平衡樹或c++中的map表示$ch$)或$O(|s|)$(使用陣列表示$ch$)。其中$\sum$為字符集大小。

迴文樹的一些擴充套件

1. 從前端插入([HDU5241]Victor and String)
2. 前後端插入，刪除字元
3. 可持久化迴文樹

老實說，除了第一個我都不會我還是太菜了。但論文裡有詳細講解。

模板題

[APIO2014]Palindrome

Description

考慮一個只包含小寫字母的字串$s$,定義一個迴文串的出現值為$t$在$s$中的出現次數與其長度的乘積。求$s$的所有迴文字串中的最大出現值。

Solution

首先建出$s$的迴文樹，定義 vt=∑|s|i=

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