「學習筆記」珂朵莉樹 ODT
珂朵莉樹，也叫ODT(Old Driver Tree 老司機樹)
從前有一天，珂朵莉出現了。。。
然後有一天，珂朵莉樹出現了。。。
看看圖片的地址 Codeforces可還行)
沒錯，珂朵莉樹來自Codeforces 896C C. Willem, Chtholly and Seniorious
國外珂學家 滑稽）
前置芝士：
set的基本操作
迭代器（跟指標差不多
過載運算子、建構函式的簡單瞭解
mutable（下面也會講
暴力列舉
常數優化（inline O2 O3 register大法好啊夠簡單了吧？除了真正的小白，大家都應該有所瞭解。
廢話完了，扯進正題（畢竟你不是珂學家，你是個O·I·E·R
珂朵莉樹的適用範圍（缺一不可，不然複雜度就是不正確的，很容易被卡）：
- 資料純隨機
- 有區間修改操作
大概就這兩個吧。珂朵莉樹畢竟是一種騙分演算法（珂朵莉：我不服），想到正解儘量用正解。
珂朵莉樹的主要思想就是用一個set來維護元素相同的區間。
這裡我們以P2572 [SCOI2010]序列操作為例，講一講珂朵莉樹。
先寫個結構體。
#define Re register //卡常操作 struct node{ int l, r; mutable bool val; node( int L, int R = -1, int v = 0 ):l(L), r(R), val(v){}//建構函式 bool operator < ( const node t )const{ return l < t.l; }//過載運算子 };
l表示左邊界，r表示右邊界，val表示l~r儲存的值都是val（當然，根據題目需要，val的型別可以改變）。
mutable的作用很簡單。由於在set中，元素是以常量方式儲存的，不能直接修改。在set中我們是按l排序的，修改val的值實際上沒有關係，不會影響set中元素的順序，把val的型別前加個mutable，就可以直接修改val，否則還要刪除元素，再插入進去，降低了效率。因為珂朵莉樹比較暴力，我們要儘可能優化複雜度。
- 建立你的珂朵莉樹
ls = 1; for ( Re int i = 1; i <= N; ++i ) scanf( "%d", &a[i] ); for ( Re int i = 2; i <= N; ++i ) if ( a[i] ^ a[i - 1] ) S.insert( node( ls, i - 1, a[i - 1] ) ), ls = i; S.insert( node( ls, N, a[N] ) );
直接把連續的一段段插進去即可。
舉個例子：
111001100011000我們就會插入以下幾個元素（以 l、r、val順序
1 3 1
4 5 0
6 7 1
8 10 0
10 11 1
12 15 0炒雞簡單對吧？
- Split
學過FHQ Treap的童鞋聽到這個很熟悉對吧？其實它們作用是差不多的，但是由於FHQ Treap是以二叉查詢樹結構儲存的，但這裡的珂朵莉樹直接用set存，相對來說簡單得多。
Split(pos)的作用就是在某個包含pos的區間[l,r]中，分成兩個區間[l,pos - 1],[pos,r]。實現很簡單，請看程式碼。
inline IT Split( Re int pos ){
Re IT t(S.lower_bound(node(pos)));//找到左邊界第一個大於等於它的元素
if ( t != S.end() && t->l == pos ) return t; // 如果左邊界就是這個元素，不用分了，直接返回[pos,r]也就是[l,r]
t--;//前一個元素就是包含pos的區間
Re int L(t->l), R(t->r); Re bool v(t->val);//存下來把原來的資訊
S.erase(t);//刪了它！
S.insert( node( L, pos - 1, v ) );//插入區間[l,pos - 1]
return S.insert( node( pos, R, v ) ).first;//插入區間[pos,r]並返回[pos,r]的迭代器
}舉例子：
如果把上面那個例子中，Split(2)
t 指向[4,5](4是第一個大於等於2的)
左邊界不是2，t--，指向區間[1,3]
分成兩個區間[1,1][2,3]
返回[2,3]的迭代器- Assign
這個操作用於區間修改元素。由於這個操作可以迅速減少set中元素的個數，所以這是珂朵莉樹的複雜度保證。
也十分簡單，就是把邊界Split，中間全部刪除再插入一個元素就好了。
inline void Assign( Re int l, Re int r, Re bool v ){//把l到r所有元素統統變成v
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));//Split邊界 分成[...l-1] {[l...]...[..r]} [r+1...] be指向;[l...],ed指向[r+1...] 大括號中間全部要刪除
S.erase( be, ed );//刪去be~ed-1的所有元素，就是大括號中間的部分
S.insert(node( l, r, v ));//插入區間[l,r]
}有一個小細節，要先執行Split(r+1)，再執行Split(l)
為什麼呢？
舉反例——
還是拿建樹那裡的例子
Assign(2,2)
假設先執行Split(2)
第一個區間[1,3]變成了[1][2,3]
be指向區間[2,3]
再執行Split(3)時
[2,3]變成了[2][3]
ed指向[3]
然後如果呼叫了be
be原指向的區間[2,3]已經被刪除了
然後RE*8+TLE*1+AC*1沒錯反過來的目的就是避免Split右區間時把be指向的區間刪了。
- 區間取反
暴力列舉即可（也要Split）
inline void Change( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) it->val = !(it->val);
}- 查詢1的個數
也很暴力，一個個列舉
inline int Get1( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) if ( it->val ) ans += (it->r) - (it->l) + 1;
return ans;
}- 查詢最長連續1的個數
還是暴力
inline int Get2( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0), cur(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it )
if ( it->val ) cur += (it->r) - (it->l) + 1;
else ans = max( ans, cur ), cur = 0;
ans = max( ans, cur );
return ans;
}差不多就這些了。
騙分大法好啊！
完整程式碼(https://www.luogu.org/problemnew/show/P2572)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Re register
struct node{
int l, r; mutable bool val;
node( int L, int R = -1, int v = 0 ):l(L), r(R), val(v){}
bool operator < ( const node t )const{ return l < t.l; }
};
#define IT set<node>::iterator
set<node> S;
inline IT Split( Re int pos ){
Re IT t(S.lower_bound(node(pos)));
if ( t != S.end() && t->l == pos ) return t;
t--;
Re int L(t->l), R(t->r); Re bool v(t->val);
S.erase(t);
S.insert( node( L, pos - 1, v ) );
return S.insert( node( pos, R, v ) ).first;
}
inline void Assign( Re int l, Re int r, Re bool v ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
S.erase( be, ed );
S.insert(node( l, r, v ));
}
inline void Change( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) it->val = !(it->val);
}
inline int Get1( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) if ( it->val ) ans += (it->r) - (it->l) + 1;
return ans;
}
inline int Get2( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0), cur(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it )
if ( it->val ) cur += (it->r) - (it->l) + 1;
else ans = max( ans, cur ), cur = 0;
ans = max( ans, cur );
return ans;
}
int N, M, t, ls;
int a[100005];
int main(){
scanf( "%d%d", &N, &M ); ls = 1;
for ( Re int i = 1; i <= N; ++i ) scanf( "%d", &a[i] );
for ( Re int i = 2; i <= N; ++i ) if ( a[i] ^ a[i - 1] ) S.insert( node( ls, i - 1, a[i - 1] ) ), ls = i;
S.insert( node( ls, N, a[N] ) );
for ( Re int i = 1; i <= M; ++i ){
Re int op, a, b; scanf( "%d%d%d", &op, &a, &b ); a++; b++;
if ( op < 2 ) Assign( a, b, op );
if ( op == 2 ) Change( a, b );
if ( op == 3 ) printf( "%d\n", Get1( a, b ) );
if ( op == 4 ) printf( "%d\n", Get2( a, b ) );
}
return 0;
}