【題目】

題目描述：

Alice 和 Bob 兩個人正在玩一個遊戲，遊戲有很多種任務，難度為 $p$ 的任務（$p$ 是正整數），有 $\frac{1}{2^p}$ 的概率完成並得到 $2^{p-1}$ 分，如果完成不了，得 $0$ 分。一開始每人都是 $0$ 分，從 Alice 開始輪流做任務，她可以選擇任意一個任務來做；而 Bob 只會做難度為 $1$ 的任務。只要其中有一個人達到 $n$ 分，即算作那個人勝利。求 Alice 採取最優策略的情況下獲勝的概率。

輸入格式：

一個正整數 $n$ ，含義如題目所述。

輸出格式：

一個數，表示 Alice 獲勝的概率，保留 $6$ 位小數。

樣例資料：

輸入 1

輸出 0.666667

備註：

【資料範圍】 對於 $30\%$ 的資料，$n$ ≤ $10$ 對於 $100\%$ 的資料，$n$ ≤ $500$

【分析】

概率 $dp$ 入門題

定義 $f_{i,j}$ 表示 Alice 得了 $i$ 分，Bob 得了 $j$ 分後 Alice 獲勝的概率

那麼初始化 $f_{n,i}=1$（$0$ ≤ $i$ ≤ $n$），最後的答案 $ans$ 會在 $f_{0,0}$ 中

現在就考慮如何通過後面的概率來轉移 $f_{i,j}$

我們列舉 Alice 下一步的得分（由於 Bob

如果下一步的任務難度為 $p$，令 $k=2^{p-1}$，那麼拿到這 $k$ 分的概率就是 $\frac{1}{2^p}$（即 $\frac{1}{2\cdot k}$），不得分的概率是 $\frac{2\cdot k-1}{2\cdot k}$

那麼轉移方程就是：$f_{i,j}=\frac{f_{i+k,j}}{4k}+\frac{f_{i+k,j+1}}{4k}+\frac{f_{i,j}\cdot(2k-1)}{4k}+\frac{f_{i,j+1}\cdot (2k-1)}{4k}$

把右邊的 $f_{i,j}$ 移到左邊來的話，就是 $f_{i,j}=\frac{(f_{i+k,j})+(f_{i+k,j+1})+({f_{i,j+1}\cdot (2k-1)})}{2k+1}$

應該還是比較好懂的吧

【程式碼】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 505
using namespace std;
double f[N][N];
int main()
{
	int n,i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<=n;++i)
	  f[n][i]=1;
	for(i=n-1;i>=0;--i)
	  for(j=n-1;j>=0;--j)
	    for(k=1;k/2<=n;k<<=1)
	    {
	    	int next=min(i+k,n);
	    	f[i][j]=max(f[i][j],(f[next][j]+f[next][j+1]+f[i][j+1]*(2*k-1))/(2.0*k+1.0));
	    }
	printf("%.6lf",f[0][0]);
	return 0;
}