390. 消除遊戲

給定一個從1 到 n 排序的整數列表。

首先，從左到右，從第一個數字開始，每隔一個數字進行刪除，直到列表的末尾。

第二步，在剩下的數字中，從右到左，從倒數第一個數字開始，每隔一個數字進行刪除，直到列表開頭。

我們不斷重複這兩步，從左到右和從右到左交替進行，直到只剩下一個數字。

返回長度為 n 的列表中，最後剩下的數字。

例項:

輸入:

n = 9,

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8

2 6

6

輸出:

6

解答

思路1：

先說一個不好的實現。首先看到這個題，很容易聯想到使用一個連結串列，然後依次刪一個跳一個，正序倒序來回執行，直到長度為 1 時返回。這樣確實也可以實現，但是耗時太長了，無法滿足需求。

思路2：

上述思路行不通，我們只好想別的辦法了。當我們仔細觀察後，其實這裡面隱藏著很強的規律。我們先把答案貼出來，下面再詳細證明。

實現：

    public int lastRemaining(int n) {
        return n == 1 ? 1 : 2 * (n / 2 + 1 - lastRemaining(n / 2));
    }

證明

假如輸入為 n，我們使用 f(n) 表示 從左到右(forward) 的最終結果，使用 b(n)表示 從右到左(backward) 的最終結果。則

規律1： 當 n = 1 時，存在 f(n) = 1, b(n) = 1。

規律2：

我們先 假設 這條規律是成立的（因為我們會在後面證明它）。我們先來看一些例子：

當 n = 1 時，由定理 1 可知：f(n) = 1， b(n) = 1，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 2。 當 n = 2 時，f(n) = 2， b(n) = 1，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 3。 當 n = 3 時，f(n) = 2， b(n) = 2，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 4。 當 n = 4 時，f(n) = 2， b(n) = 3，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 5。 …

規律3： 對於 n > 2 的情況下，f(n) = 2 * b(n / 2)。

假如現在有一個輸入為 [1，2，3，4，5，6]，第一次刪除後結果為 [2，4，6]，可視為 2 * [1，2，3]，而我們知道下一次是 “從右到左” 的，即我們可以使用 b(3) 表示 [1，2，3] “從右到左” 的執行結果，則 f(6) = 2 * b(3)。

同樣，如果輸入為 [1，2，3，4，5，6，7]，第一次刪除後結果同上，也有 f(7) = 2 * b(3)。

那麼，對於任意數 k，我們其實都可以按照上述方式將 f(k) 表示為：f(k) = 2 * b(k / 2)。

證明規律2正確：

我們想要證明 f(n) + b(n) = n + 1 成立，又已知 f(n) = 2 * b(n / 2)

我們可以將他們表示為：b(n) = n + 1 - f(n) = n + 1 - 2 * b(n / 2) 和 f(n) = 2 * b(n / 2) = 2 * (n / 2 + 1 - f(n / 2))

即：f(n) + b(n) = n + 1

可以表示為：2 \* (n / 2 + 1 - f(n / 2)) + n + 1 - 2 \* b(n / 2) = n + 1

化簡可得：f(n / 2) + b(n / 2) = n / 2 + 1

所以：欲證明 f(n) + b(n) = n + 1 成立，及證明 f(n / 2) + b(n / 2) = n / 2 + 1 成立。

證明過程：

使用數學歸納法，先從前面幾個例子開始，即：

當 n = 1 時，已知 f(1) = 1， b(1) = 1，f(1) + b(1) = 2 成立。 當 n = 2 時，已知 f(2) = 2， b(2) = 1，f(2) + b(2) = 3 成立。 當 n = 3 時，已知 f(3) = 2， b(3) = 2，f(3) + b(3) = 4 成立。 … 當 n = k 時，已知 f(k / 2) + b(k / 2) = k / 2 + 1 成立，所以 f(k) + b(k) = k + 1 成立。 …

最終，對於任意值 n，我們都可以說 f(n) + b(n) = n + 1。

結論：

當 n = 1 時：

f(n) = b(n) = 1。

當 n > 1 時：

f(n) = 2 * (n / 2 + 1 - f(n / 2))

b(n) = n + 1 - 2 * b(n / 2)

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