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『NOIP普及：數學推導組題訓練』

阿新 • • 發佈：2018-12-19

NOIP普及：數學推導組題訓練

T1 超級英雄的戰鬥

【 問題描述】
美國隊長和鋼鐵俠正在與很多外星人戰鬥。 這場戰鬥的持續時間是 t
分鐘， 每分鐘美國隊長和鋼鐵俠都可能消滅 0 個或 1 個外星人。 我們用一
個長度為 t 的字串 S 來描述這場戰鬥， 每個字元代表一分鐘內發生的情
況： M 表示只有美國隊長消滅了 1 個外星人， G 表示只有鋼鐵俠消滅了 1
個外星人， T 表示兩人同時消滅了 1 個外星人， 不存在某 1 分鐘兩人都沒
有消滅外星人。
鋼鐵俠知道一般情況下他們兩個的戰鬥能力比是 m:g， 表示在相同時
間內如果美國隊長消滅了 mk 個敵人， 鋼鐵俠應當能消滅 gk 個。 戰鬥之
後， 鋼鐵俠發現， 並不是所有連續時間段都符合一般情況的。 用 S 的一個
子串 S2=S[l…r]表示一個連續時間段， 我們稱 S2 是“好” 的， 當且僅當在
第 l 分鐘到第 r 分鐘（ 兩端均包含） 美國隊長消滅的敵人數和鋼鐵俠消滅
的敵人數之比恰好等於 m:g。
鋼鐵俠需要計算最長的“好” 的 S 的非空子串， 最長的“ 好” 的子串
的數量， 以及 S 的所有“好” 的非空子串的數量。 如果字串一樣但位置
不同分開計算數量。
【 輸入格式(

fight.in)】
輸入第一行包含 3 個非負整數： t,m 和 g。
第二行包含一個長度為 t 的字串 S， 含義如前所說。
【 輸出格式(fight.out)】
輸出兩行。 第一行包含 3 個整數 l,r 和 cnt， 表示 S 的子串 S[l…r]是最
長的“好” 子串（ S 的編號從 1 開始） ， 如果有多個輸出最左邊的子串，
以及與它等長的“ 好”的子串的數量。 第二行包含 1 個整數， 表示 S 的“好”
的非空子串數量。 如果不存在“好” 的非空子串， 只輸出”A weird fight”（ 不
包含引號） 。
【 樣例輸入 1】
6 1 2
GTGGTT
【 樣例輸出 1】
1 6 1
6
【 樣例輸入 2】
2 3 2
TMG
【 樣例輸出 2】
A weird fight
【 解釋】
樣例 1 中， GT,TG,GGTT,TGGT,GTGGTT 都是“ 好” 的子串， 其中 GT 出現
了 2 次， 所以總的個數是 6。
【 資料規模與約定】
保證 m 和 g 至少有一個非 0。 不保證 m:g 是最簡比。
保證 S 中的字元只會是 M,G,T 之一。
資料可能有 3 種特殊限定之一。
限定 1： S 只出現 1 種字母。
限定 2： m*g=0
限定 3： S 中沒有字元’T’， 且所有的’M’都在所有的’G’之前。

測試點編號 t 的上界 特殊限定
1 100 1
2~5 100 無
6 2000 2
7 2000 3
8~12 2000 無
13,14 100000 2
15,16 100000 3
17~20 100000 無

保證 m,g<=10^9。

解析

顯然的，方便區間統計，我們先要做兩個字首和陣列：sumM[i]sumM[i]代表前i個位置美隊消滅的敵人數，sumG[i]sumG[i]代表前i個位置鋼鐵俠消滅的敵人數。題目中要求“好”的字串中鋼鐵俠消滅的敵人數和美隊消滅的敵人數成比例，也就是說：
sumG[r]−sumG[l−1]sumM[r]−sumM[l−1]=g

m\frac{sumG[r]-sumG[l-1]}{sumM[r]-sumM[l-1]}=\frac{g}{m}
那麼子串[l,r]就是“好”的。
那麼，接下來就是對這個式子進行推導(xiagao)了：
sumG[r]−sumG[l−1]sumM[r]−sumM[l−1]=gm\frac{sumG[r]-sumG[l-1]}{sumM[r]-sumM[l-1]}=\frac{g}{m}
(sumG[r]−sumG[l−1])∗m=(sumM[r]−sumM[l−1])∗g(sumG[r]-sumG[l-1])*m=(sumM[r]-sumM[l-1])*g
m∗sumG[r]−m∗sumG[l−1]=g∗sumM[r]−g∗sumM[l−1]m*sumG[r]-m*sumG[l-1]=g*sumM[r]-g*sumM[l-1]
m∗sumG[r]−g∗sumM[r]=m∗sumG[l−1]−g∗sumM[l−1]m*sumG[r]-g*sumM[r]=m*sumG[l-1]-g*sumM[l-1]
接下來神奇的事情就發生了：我們發現變形後的式子左右兩邊的形式完全相同，而且陣列下標只分別和l-1，r有關。那麼我們就可以用值來當下標，做一個桶了。如果檢查到這個字已經出現，那就說明一定存在一個符合要求的“好”子串。所以我們用map開兩個桶first，cnt分別記錄等式一邊等於為某個值時，這個子串第一次出現的位置和相同長度子串的個數。這樣一重迴圈掃描就可以統計，累加得到答案了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
inline void read(int &k)
{
	int x=0,w=0;char ch;
	while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	k=(w?-x:x);return;
}
int t,m,g,Maxlen=-1,Maxcnt=0,Allcnt=0,L,R,sumG[208000],sumM[208000];
char s[200080];map< int,int >first,cnt;
inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
inline void input(void)
{
	read(t),read(m),read(g);
	int temp=gcd(m,g);
	m/=temp,g/=temp;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		cin>>s[i];
		sumG[i]=sumG[i-1],sumM[i]=sumM[i-1];
		if(s[i]=='G')sumG[i]+=1;
		if(s[i]=='M')sumM[i]+=1;
		if(s[i]=='T')sumG[i]+=1,sumM[i]+=1;
	}
}
inline void solve()
{
	first[0]=cnt[0]=1;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		int value=m*sumG[i]-g*sumM[i];
		if(cnt.count(value))
		{
			if(i-first[value]+1>Maxlen)
			{
				Maxlen=i-first[value]+1;
				L=first[value];
				R=i;
				Maxcnt=1;
			}
			else if(i-first[value]+1==Maxlen)
			{
				Maxcnt++;
			}
			Allcnt+=cnt[value];
		}
		else first[value]=i+1;
		cnt[value]++;
	}
}
int main(void)
{
	freopen("fight.in","r",stdin);
	freopen("fight.out","w",stdout);
	input();
	solve();
	if(!Allcnt)printf("A weird fight\n");
	else
	{
		printf("%d %d %d\n",L,R,Maxcnt);
		printf("%d\n",Allcnt);
	}
	return 0;
}

T2 方方方

【問題描述】
在一個n*m的方格圖中，選中三個單元格，需滿足以下兩個條件：
（1）任意兩個單元格都不在同一行。
（2）任意兩個單元格都不在同一列。
選擇的花費是三個格子兩兩之間曼哈頓距離的和（如(x1,y1)和(x2,y2)的曼哈頓距離為|x1-x2|+|y1-y2|），問花費在l到r之間的方案數有多少。
所謂的兩種不同方案是指：只要它選中的單元格有一個不同，就認為是不同的方案。答案模1000000007。

【輸入格式】
第一行4個整數n,m,l,r。
【輸出格式】
一個整數，表示不同的選擇方案數量模1000000007後的結果。

orzfang.in orzfang.out
3 3 1 20000 6
3 3 4 7 0
4 6 9 12 264
7 5 13 18 1212
4000 4000 4000 14000 859690013
【輸入輸出樣例】

【資料規模】
對於30%的資料，3≤n,m≤70。

對於100%的資料 3≤n,m≤20000。

解析

由於三個點的橫座標，縱座標各不相同，且他們是無法辨識的，我們不妨設x1&lt;x2&lt;x3,y1&lt;y2&lt;y3x_1&lt;x_2&lt;x_3,y_1&lt;y_2&lt;y_3，則他們的花費就一定是2∣x3−x1∣+2∣y3−y1∣2|x_3-x_1|+2|y_3-y_1|,我們很容易就能發現這三個點的排列順序互換時，他們的兩兩間曼哈頓距離之和是不變的，所以，當我們確切的找到三個點的座標時，它其實對答案貢獻了3！=63！=6種方案,然而我們其實只需要確定最左下角和最右上角的點，中間的點是可以隨意移動，構成多種方案的，所以，我們列舉x1,y1,x3,y3x_1,y_1,x_3,y_3且保證x3−x1&gt;1,y3−y1&gt;1x_3-x_1&gt;1,y_3-y_1&gt;1，那麼在代價符合範圍條件是，它就對答案造成了6∗(x3−x1−1)∗(y3−y1−1)6*(x_3-x_1-1)*(y_3-y_1-1)種方案的貢獻（因為中間點是可以在內部隨意移動的），四重迴圈列舉，這就是30分的寫法。
換個思路，我們可以列舉最左下角的點和最右上角的點構成的矩形，即列舉它的長(x)和寬(y)。這時它的花費是2∗(x+y−2)2*(x+y-2),它的貢獻是6∗(x−2)∗(y−2)6*(x-2)*(y-2)，這時，這樣列舉的好處就體現出來了，我們可以直接計算出這樣的矩形有幾個：(n−x+1)∗(m−y+1)(n-x+1)*(m-y+1)個，那麼這種情況下的所有方案也就算出來了：當l≤2∗(x+y−2)≤rl≤2*(x+y-2)≤r時，邊長為x，yx，y的矩形總貢獻為6∗(x−2)∗(y−2)∗(n−x+1)∗(m−y+1)6*(x-2)*(y-2)*(n-x+1)*(m-y+1)，那麼O(n2)O(n^2)列舉x，y就能得到答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long P=1000000007;
inline void read(long long &k)
{
	long long x=0,w=0;char ch;
	while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	k=(w?-x:x);return;
} 
long long n,m,l,r,ans=0;
inline void input(void)
{
	read(n),read(m);
	read(l),read(r);
}
inline void work(void)
{
	for(int x=3;x<=n;x++)
	{
		for(int y=3;y<=m;y
            
  

           

              
              

            

            
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          盤
         
        
        
         棋盤
        
       
      棋盤 



  
 

    


    
    
[jzoj]2018.07.11【NOIP普及組】模擬賽D組：解題報告

     
 
                目錄

1.和諧數

2.分數

3.終極數

4.串

1.和諧數

給定一個長度為N的序列a，對於每一個數都可選或不選，把選出的數有序組成一個新的序列b，使b序列的“和諧數”最大。一個序列的和諧數如下定義：對於位置i，如果第奇數次選的則加上bi，偶數次選的則減去bi 
注 



  
 

    


    
    
NOIP普及組題解（能有民間資料的三題）

     
 
								
								            
						
                
普及組題解pascal版本（能測民間資料的三題）
1.成績(score.cpp/c/pas)
【問題描述】
牛牛最近學習了 C++入門課程，這門課程的總成績計算方法是:
總成績=作業成績×20%+小測 



  
 

    


    
    
NOIP普及組第1題(1995-2018)

     
 .net   www   noip2009   isn   分解   標題   new   號碼   article   NOIP1995普及組復賽第1題https://blog.csdn.net/secret_zz/article/details/76862335https://blog.csdn.net/ 



  
 

    


    
    
NOIP普及組第2題(1995-2018)

     
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noip普及組2004 火星人

     
 簡單   第一個   fst   範圍   namespace   while   限制   mut   這樣的   火星人
描述
人類終於登上了火星的土地並且見到了神秘的火星人。人類和火星人都無法理解對方的語言，但是我們的科學家發明了一種用數字交流的方法。這種交流方法是這樣的，首先，火星人把一個非常大的數字 



  
 

    


    
    
noip普及組2004 FBI樹

     
 length   name   組成   clas   turn   line   fib   遍歷   bool   FBI樹
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 spa   滿足   格式   oca   mes   logs   pac   syn   相對   紀念品分組
描述
元旦快到了，校學生會讓樂樂負責新年晚會的紀念品發放工作。為使得參加晚會的同學所獲得 的紀念品價值相對均衡，他要把購來的紀念品根據價格進行分組，但每組最多只能包括兩件紀念品， 並且每組紀念品 



  
 

    


    
    
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數組 A 由 1000 萬個隨機正整數 (int) 組成，設計算法，給定整數 n，在 A 中找出 a 和 b，使其符合如下等式：
n = a + b 
解題思路：
 
1. 1000w個隨機正整數占用空 



  
 

    


    
    
noip普及組2013 車站分級（luogu P1983）

     
 eof   矩陣   oid   har   一個   org   pac   題目   style   原題鏈接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1983
題目大意：每個車站有一個權值，每一車次始發站與終點站之間如果有不停靠的點，那麽它的權值一定比停靠的點的權值