T1 埃匹希斯水晶

題目描述

大家都知道，卡德加是個神奇的法師。 有一天，他發現了一種可以作用在埃匹希斯水晶上的魔法：在左右兩個祭壇上放一定量的水晶，然後施放一個法術，左邊一堆的水晶數量會變成原來兩個祭壇上水晶之和，右邊一堆會變成兩個祭壇上水晶數量之差。

卡德加現在有兩堆水晶，分別有 A 個和 B 個。他打算集中精神連續 釋放 N次法術，但不知道最後能拿到多少水晶，於是他找到了要塞指揮官（就是你了）。
輸入格式

三個整數 A, B, N ，表示祭壇上剛開始的水晶數，和法術的釋放次數。
輸出格式

兩個數，祭壇上最後的水晶數。輸出模 (10e8 + 7)。
樣例資料

input

1 2 3

output

6 2

資料規模與約定

50%: N ≤ 10e6 。 100%: A, B ≤ 10e8 , N ≤ 10e18 。

時間限制：1s

空間限制：256MB

解析

簡單的思考本題，就會發現有一個很簡單的規律：

每操作兩次，左邊的水晶數和右邊的水晶數就會翻一倍。
那麼用快速乘和快速冪做2的整次方就可以解決這個問題。如果n為奇數，那就先手動操作一個，再乘2的整次方。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long A,
 
B,n,ansa,ansb;
const long long P=10e8+7;
inline void input(void)
{
	scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&n);
	if(A<B)swap(A,B);
}
inline long long Max(long long a,long long b){return a>b?a:b;}
inline long long Min(long long a,long long b){return a<b?a:b;}
inline long long mul(long long a,
 
long long b) 
{ 
	long long result=0; 
	while(b>0) 
	{ 
		if(b&1)result+=a,result%=P; 
		b>>=1; 
		a+=a,a%=P; 
	} 
	return result; 
}
inline long long power(long long a,long long b) 
{ 
	long long result=1; 
	while(b>0) 
	{ 
		if(b&1)result=mul(result,a); 
		b>>=1; 
		a=mul(a,a); 
	} 
	return result; 
}

inline void work(void)
{
	if(n%2==0)ansa=mul(A%P,power(2,n/2)%P),ansb=mul(B%P,power(2,n/2)%P);
	else ansa=mul(A%P+B%P,power(2,n/2)%P),ansb=mul(A%P-B%P,power(2,n/2)%P);
}
int main(void)
{
	freopen("apexis.in","r",stdin);
	freopen("apexis.out","w",stdout);
	input();
	work();
	printf("%lld %lld\n",ansa%P,ansb%P);
	return 0;
}

T2 要塞任務

題目描述

你的要塞⾥有 N 名隨從，每名隨從有⼀個戰⽃⼒值 Ai ，不同隨從的戰⽃⼒可以相同，且永遠不超過 N 。⼀個要塞任務需要恰好 M 個隨從參與。

要塞任務的獎勵取決於隨從們配合的程度。（顯⽽易見地），M 個隨 從的聯合戰⽃⼒ A 為它們戰⽃⼒的最大公約數，⽽任務的獎勵分數定義為ϕ(A)。

求最大可能的獎勵分數。
輸入格式

本題有多組資料，第⼀⾏為資料組數 T 。 接下來每組資料有兩⾏，第⼀⾏兩個整數 N, M ，第⼆⾏ N 個整數 Ai 。
輸出格式

一行，一個整數，表示答案。
樣例資料

input

1
5 2
1 4 6 9 12

output

2

資料規模與約定

20%：N M ≤ 10e5 。 60%：N, M, Ai ≤ 100。 100%：N, M, Ai ≤ 100000，T ≤ 10。

時間限制：1s

空間限制：256MB

解析

我們可以先利用線性篩法預處理出1~n的尤拉函式。其具體步驟不再詳解，可以參照以前數論部落格。
有了尤拉函式後，我們的問題就轉變為了一個數A，他是數列中至少m個數的最大公約數，且使得$\phi(A)$最大。
那麼思維的轉換就在這個地方，我們其實直接列舉A就可以了。怎麼判斷它至少是m個數的最大公約數呢？我們先用桶記錄每一個數出現的次數$cnt[i]$，當列舉到一個數$A'$時,顯然$A',2A',3A',...,kA'$這些數的最大公約數是$A'$，那麼我們累加$cnt$陣列，得到$\Sigma_{i=1}^{i*A'≤max\{a_i\}}cnt[i*A']$的值，就可以判斷了，如果這個值大於m，顯然他是符合要求的，我們可以利用預處理的尤拉函式嘗試更新答案，反之，跳過就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mset(k) memset(k,0,sizeof(k))
int n,m,Combatpower[100080]={},cnt[100080]={},Max=-1,ans=-1;
int phi[100080]={},prime[100080]={},flag[100080]={},Cnt=0;
inline void input(void)
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&Combatpower[i]),cnt[Combatpower[i]]++;
		Max=max(Max,Combatpower[i]);
	}
}
inline void eular()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!flag[i]){prime[++Cnt]=i;phi[i]=i-1;}
		for(int j=1;j<=Cnt;j++)
		{
			if(prime[j]*i>n)break;
			flag[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
inline void solve(void)
{
	for(int i=1;i<=Max;i++)
	{
		if(ans>=phi[i])continue;//優化：如果符合要求也更新不了答案，直接跳過即可
		int t=0;
		for(int j=i;j<=Max;j+=i)
		{
			if(cnt[j])t+=cnt[j];
			if(t>=m)break;//優化：如果已經符合要求，就不用再統計了
		}
		if(t>=m)ans=max(ans,phi[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(void)
{
	freopen("quest.in","r",stdin);
	freopen("quest.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		mset(flag);mset(prime);mset(phi);mset(cnt);mset(Combatpower);
		Cnt=0;Max=ans=-1;
		input();
		eular();
		solve();
	}
	return 0;
}

T3 奶牛的臥室

題目描述

奶牛們有一個習慣，那就是根據自己的編號選擇床號。如果一頭奶牛編號是a，並且有0…k-1一共k張床，那麼她就會選擇a mod k號床作為她睡覺的地點。顯然，2頭牛不能睡在一張床上。那麼給出一些奶牛的編號，請你為她們準備一間臥室，使得裡面的床的個數最少。
輸入格式

第一行是奶牛的個數n(1<=n<=5000)；第2到第n+1行是每頭奶牛的編號Si(1<=Si<=1000000)。
輸出格式

僅一行，是最少的床的數目。

input

5
4
6
9
10
13

output

8

資料規模與約定

1s

未知

時間限制：1s

空間限制：256MB

解析

題目要求我們求解一個k，使得任何一個$a_i \% k$各不相同。那麼，顯然有的是：對於任意$a_i,a_j$，$k$不能作為$a_i-a_j$的因數，否則，他們一定同餘。那麼，我們可以用桶標記任意兩個數的差，$dif[i]=true$代表存在兩個數的差為i。那麼我們可以直接列舉從小到大k，並判斷$dif[k]$是否為假，如果是假，繼續判斷$dif[k]$的整數倍是否為假，如果都為假，那就說明這個k符合要求，直接輸出即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,num[5080]={},dif[1000080]={},Max=-1;
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]),Max=max(Max,num[i]);
}
inline void Marking(void)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			dif[abs(num[i]-num[j])]=true;
		}
	}
}
inline void Find(void)
{
	for(int i=n;i<=Max;i++)
	{
		if(!dif[i])
		{
			for(int j=i;j<=Max;j+=i)
			{
				if(dif[j]==true)
				{
					dif[i]=true;
				}
			}
			if(!dif[i])
			{
				printf("%d\n",i);
				break;
			}
		}
	}
}
int main(void)
{
	freopen("bed.in","r",stdin);
	freopen("bed.out","w",stdout);
	input();
	Marking();
	Find();
	return 0;
}

T4 fuse

題目大意

在進入礦洞N久之後，Abigail 已經取得了一大堆各種各樣的礦石，並將這些礦石熔化一個個裝進了瓶子裡了.

這些瓶子都有一個屬性Ai，這個屬性Ai的所有因數表示了這個瓶子內裝的液體的特性.當兩個瓶子i和j中的液體要混合時，它們混合的液體屬性g就是Ai和Aj都具有的最大液體特性，即g=gcd(Ai,Aj).

現在 Abigail 經過了十分勞累的冶煉，攤在地上突然想到了一個神奇的問題，如果把任意兩隻瓶子混合起來，得到的液體屬性為gi有多少種可能呢.

注意，對於兩個編號為i,j（i≠j）,(i,j)和(j,i))算成兩種不同的方案.
輸入格式

輸入第1行包括一個整數n，表示 Abigail 得到了n瓶溶液.

接下來n行，每行一個正整數Ai，表示第i瓶液體的屬性.

接下來1行，包括一個整數 m，表示詢問的 gi的數量.

接下來m行，每行一個正整數 gi，表示詢問.
輸出格式

輸出包括 m行，第i行一個正整數表示第i個詢問的答案.
資料範圍

對於100%的資料： 1≤Ai1≤Ai 1≤m≤2n

解析

首先，我們需要用桶記錄每一個數出現的次數，即$cnt[i]$代表$A$中$i$出現的次數。那麼，我們就可以求出每一個數作為別的數的因子的次數，即$num[i]=\Sigma_{j=1}^{i*j≤max\{A_i\}}cnt[i*j]$。由乘法原理可得：每一個數做為其他數對的公約數的次數$N[i]=num[i]*(num[i]-1)$，但是，這只是公約數，我們要求的是每一個數作為其他數對的最大公約數的次數，設i作為其他數對的最大公約數的次數為$c[i]$，那麼$c[i]$其實等於i作為其他數對的公約數的次數減掉i整數倍作為其他數對的最大公約數的次數，即$c[i]=N[i]-\Sigma_{j=2}^{i*j≤max\{A_i\}}c[i*j]$