樹

樹

基本概念：樹是$n(n>=0)$結點的有限集

1. 有且僅有一個特定的稱為根的結點
2. 當$n>1$時，其餘結點可分為m個互不相交的有限集，每個集合都是一棵樹，是根的子樹。

其他概念：

1. 結點的度：子樹的個數；
2. 樹的度：樹的節點中最大度
3. 葉節點（終端結點）：度為0的節點；而分支結點是度不為0的結點。
4. 樹的深度：樹所有結點中最大層次（根節點的層次為1）
5. 路徑長度：結點個數-1，或者說是分支條數
6. 兄弟結點是父結點相同的結點
7. 森林是$m(m>=0)$棵互不相交的樹的集合

二叉樹

二叉樹是另一種樹形結構，每個結點至多隻有兩棵子樹，且有左右之分，需要注意的是，從樹的概念衍生來的二叉樹是可以為空樹的。

性質

1. 在二叉樹的第$i$層上至多有$2^{i-1}$個結點(i>=1)
2. 深度為$k$的二叉樹至多有$2^k-1$個結點(k>=1)，由此，深度為$k$且有$2^k-1$個結點的二叉樹是滿二叉樹；而完全二叉樹是其$n$個結點與滿二叉樹的$n(n<=k)$個結點編號一致。
3. 對任何一棵二叉樹T，若葉結點數為$n_0$，度為2的結點數為$n_2$，則$n_0=n_2+$
   1n_0=n_2+1。
4. 對於完全二叉樹T，具有n個結點，其深度為$log_2n+1$
5. 對於有$n$個結點的完全二叉樹，i為結點編號，如果$i=1$則$i$是二叉樹的根，若$i>1$則其雙親是$i/2$(向下取整)；另外，如果$2i>n$則$i$無左孩子，$2i+1>n$則$i$無右孩子

儲存結構

1. 順序儲存，以陣列下標表示結點編號，明顯可以看出，如果樹不為完全二叉樹，則浪費了很多儲存空間
2. 鏈式儲存 分為資料域和左右指標域，鏈的頭指標指向根節點，還有一種三叉連結串列，多加了一個指向雙親結點的指標。

二叉樹的遍歷和線索二叉樹

遍歷

1. 前序遍歷 根結點-左子結點-右子結點
2. 中序遍歷 左子結點-根結點-右子結點
3. 後序遍歷 左子結點-右子結點-根結點 三種遍歷方式正好對應波蘭式，中綴表示式和逆波蘭式

bool PreOrderTraverse(BinTree T)
{
	if (!T)
		return 1;
	else
	{
		Visit(T->data);
		PreOrderTraverse(T->left);
		PreOrderTraverse(T->right);
	}
	return 1;
}

遍歷演算法的不同之處僅僅為訪問結點的先後關係，其實遞迴執行過程是完全一樣的，仿照遞迴執行狀態中遞迴棧的變化可寫出相應的非遞迴演算法，若棧頂記錄的指標非空，則遍歷左子樹將左指標入棧；若棧頂記錄的指標為空，說明應當返回上一層，若從右子樹返回，不必儲存當前的根指標，直接修改指標即可。

bool InOrderTraverse(BinTree T)
{
	InitStack(s);
	BinTree p=T;
	while(p||!isempty(s))
	{
		if(p)
		{
			Push(s,p);
			p=p->left;
		}
		else
		{
			Pop(s,p);
			if(!Visit(p->data))
				return 0;
			p=p->r;
		}
	}
	return 1;
}

線索二叉樹

二叉連結串列作為儲存結構時，不能找到結點的前驅和後繼資訊，所以，將樹的空鏈域用來存放結點的前驅和後繼資訊。規定：如果結點有左子樹，則lchild域指示其左孩子，否則指示前驅，rchild域指示右孩子，否則指示後繼。為避免混淆，再增加兩個標誌域 這種結點結構組成的二叉連結串列作為二叉樹的儲存結構，叫做線索連結串列，指向前驅和後繼的指標稱為線索，樹也為線索二叉樹

1. 中序線索二叉樹：樹中所有葉子結點的後繼由右鏈域指出。非葉子結點右鏈指向孩子，但是由中序遍歷可知，其後繼為遍歷該結點右子樹時的最左下端結點；同樣，找前驅時葉子結點左鏈域指向前驅，否則是該結點左子樹的最右下端結點
2. 後序線索二叉樹：因為根節點在遍歷順序之後，所以根的後繼為空；若為右孩子或者左孩子（但沒有兄弟），則後繼結點就為根結點，若為左孩子且有右子樹，就是遍歷右子樹的第一個結點。