最長遞增子序列的三種演算法
問題
給定一個長度為N的陣列，找出一個最長的單調自增子序列（不一定連續，但是順序不能亂）。例如：給定一個長度為6的陣列A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，則其最長的單調遞增子序列為{5，6，7，8}，長度為4.
解法1：最長公共子序列法
這個問題可以轉換為最長公共子序列問題。如例子中的陣列A{5，6， 7， 1， 2， 8}，則我們排序該陣列得到陣列A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然後找出陣列A和A’的最長公共子序列即可。顯然這裡最長公共子序列為{5, 6, 7, 8}，也就是原陣列A最長遞增子序列。最長公共子序列演算法在演算法導論上有詳細講解，這裡簡略說下思想。
假定兩個序列為X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn)，並設Z={z1, z2, ..., zk}為X和Y的任意一個LCS。
1）如果xm = yn，則zk = xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一個LCS。
2）如果xm != yn, 則zk != xm蘊含Z是Xm-1和Y得一個LCS。
3）如果xm != yn, 則zk != yn蘊含Z是X和Yn-1的一個LCS。
解法2：動態規劃法（時間複雜度O(N^2))
設長度為N的陣列為{a0，a1, a2, ...an-1)，則假定以aj結尾的陣列序列的最長遞增子序列長度為L(j)，則L(j)={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }。也就是說，我們需要遍歷在j之前的所有位置i(從0到j-1)，找出滿足條件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即為L(j)的值。最後，我們遍歷所有的L(j)（從0到N-1），找出最大值即為最大遞增子序列。時間複雜度為O(N^2)。
例如給定的陣列為{5，6，7，1，2，8}，則L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以該陣列最長遞增子序列長度為4，序列為{5，6，7，8}。演算法程式碼如下：
Cpp程式碼
- #include <iostream>
- using namespace std;
- #define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //陣列長度
- int lis(int arr[], int len)
- {
- int longest[len];
-
for (int i=0; i<len; i++)
- longest[i] = 1;
- for (int j=1; j<len; j++) {
- for (int i=0; i<j; i++) {
- if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1這個條件，不能省略。
- longest[j] = longest[i] + 1; //計算以arr[j]結尾的序列的最長遞增子序列長度
- }
- }
- }
- int max = 0;
- for (int j=0; j<len; j++) {
- cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;
- if (longest[j] > max) max = longest[j]; //從longest[j]中找出最大值
- }
- return max;
- }
- int main()
- {
- int arr[] = {1, 4, 5, 6, 2, 3, 8}; //測試陣列
- int ret = lis(arr, len(arr));
- cout << "max increment substring len=" << ret << endl;
- return 0;
- }
解法3：O(NlgN）演算法
假設存在一個序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出來它的LIS長度為5。
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變數Len來記錄現在最長算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1
然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1
接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3
第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了
第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。
最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
於是我們知道了LIS的長度為5。
注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。
然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！
程式碼如下（程式碼中的陣列B從位置0開始存資料）：
Cpp程式碼
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #include <string.h>
- #define N 9 //陣列元素個數
- int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原陣列
- int B[N]; //在動態規劃中使用的陣列,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋
- int len; //用於標示B陣列中的元素個數
- int LIS(int *array, int n); //計算最長遞增子序列的長度,計算B陣列的元素,array[]迴圈完一遍後,B的長度len即為所求
- int BiSearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜尋演算法
- int main()
- {
- printf("LIS: %d\n", LIS(array, N));
- int i;
- for(i=0; i<len; ++i)
- {
- printf("B[%d]=%d\n", i, B[i]);
- }
- return 0;
- }
- int LIS(int *array, int n)
- {
- len = 1;
- B[0] = array[0];
- int i, pos = 0;
- for(i=1; i<n; ++i)
- {
- if(array[i] > B[len-1]) //如果大於B中最大的元素，則直接插入到B陣列末尾
- {
- B[len] = array[i];
- ++len;
- }
- else
- {
- pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查詢需要插入的位置
- B[pos] = array[i];
- }
- }
- return len;
- }
- //修改的二分查詢演算法，返回陣列元素需要插入的位置。
- int BiSearch(int *b, int len, int w)
- {
- int left = 0, right = len - 1;
- int mid;
- while (left <= right)
- {
- mid = left + (right-left)/2;
- if (b[mid] > w)
- right = mid - 1;
- else if (b[mid] < w)
- left = mid + 1;
- else //找到了該元素，則直接返回
- return mid;
- }
- return left;//陣列b中不存在該元素，則返回該元素應該插入的位置
- }