一般的精算模型嘗試表現出未來不確定的支付流，不確定性包括事件是否會發生、發生的時間以及損失量。

一些概念：
1. 現象是指可以觀測到的發生。
2. 試驗是指在一定條件下對某給定現象的一個觀測。
3. 一次試驗的最終觀測稱為結果。
4. 事件是一個或多個結果的集合。
5. 隨機現象是指試驗可能會有一個以上的結果。
6. 具有隨機現象的事件稱為不確定結果。
7. 概率是對一個事件的結果發生可能性的度量，這個度量經過標準化處理，從0增加到1的數值表示。
8. 隨機變數是一個函式，它對每一個可能結果賦予一個數值。

分佈函式和4個模型

某隨機變數X的累積分佈函式F(x)滿足以下四個必要條件
1.對所有x，0≤F(x)≤1。
2.F(x)是非降的。
3.F(x)是右連續的。
4.

limx→−∞F(x)=0$\underset{x\to -\infty }{lim}F(x)=0$且limx→+∞F(x)=1$\underset{x\to +\infty }{lim}F(x)=1$

基於此的4個模型大概長這個樣子（靈魂畫作）

第一行左邊是典型的F(x)=ax+b$F(x)=ax+b$，具體約束參照四個必要條件，abmn均為正數，不詳細說了。
第一行右邊是F(x)=1−b/xa$F(x)=1-b/x^a$
第二行左邊是F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0mn1x＜00≤x<aa≤x＜bx≥b$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x＜0\\ m& 0\le x<a\\ n& a\le x＜b\\ 1& x\ge b\end{array}$
第二行右邊是F(x)={01−be−axx＜0x≥0$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x＜0\\ 1-b{e}^{-ax}& x\ge 0\end{array}$，那個圈是畫錯的，無視就好了。（其實我是想畫0和函式的值是區分的，手抖畫錯了2333）

以上4個模型就是常用的分佈函式，前兩個是連續分佈，第三個是離散分佈，第四個是混合分佈。
從我個人的角度理解，分佈函式常常用於描述事物本身。

生存函式

生存函式是分佈函式的“補函式”，記為S(x)。S(x)=1-F(x)，故而
1.對所有x，0≤S(x)≤1。
2.S(x)是不增的。
3.F(x)是右連續的。
4.limx→−∞S(x)=1$\underset{x\to -\infty }{lim}S(x)=1$且limx→+∞S(x)=0$\underset{x\to +\infty }{lim}S(x)=0$

概率密度函式

概率密度函式f(x)，簡稱為密度函式，它表示分佈函式的導數或者生存函式導數的負值，即f(x)=F’(x)=-S’(x)，有時縮寫為pdf。
隨機變數在密度函式比較高的區域，發生的可能性將高於比較低的區域。

概率函式

概率函式p(x)，也稱為概率質點函式，表示隨機變數在概率值為非零點的概率。一般用在離散型分佈函式或者混合型分佈函式。

風險率

風險率h(x)，也稱作死亡力（也寫作μ(x)）或者失效率（也寫作λ(x)），表示密度函式與生存函式的比值，即h(x)=f(x)/S(x)
所以，先前的4個模型變成了這個樣子

眾數

眾數是指最有可能發生的值，對於離散型則是概率函式最大的點，對於連續型則是密度函式最大值的點。

矩

隨機變數X的k階原點矩，為隨機變數k次冪的期望（平均）值（如果它存在的話）。用E(X^k)。一階原點矩為隨機變數的均值，通常記為μ。
μ′x={∫∞−∞xkf(x)dx∑jxkjp(xj)隨機變量是連續的隨機變量是離散的${\mu }_x^{{\prime }^{}}=\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{k}f(x)dx& 隨機變量是連續的\\ \sum _j{x}_j^{k}p(x_j)& 隨機變量是離散的\end{array}$

一個特殊的離散分佈模型——經驗分佈模型

經驗分佈模型是基於一個樣本量為n，並對每個資料點賦予概率1/n的離散分佈模型。
模型中的均值等於算數平均值。

中心矩、變異係數、偏度與峰度

隨機變數的k階中心矩為該變數與其均值的偏差的k次冪的期望值，一般表示為E[(X-μ)^k]或μ_k。
通常稱呼二階中心矩為方差σ2${\sigma }^2$，它的平方根叫做標準差σ。
標準差與均值的比值稱作變異係數。
三階中心矩與標準差立方的比值稱為偏度，τ1=μ3/σ3${\tau }_1={\mu }_3/{\sigma }^3$，也稱作偏度係數。
四階中心矩與標準差的四次方的比值稱為峰度，τ2=μ4/σ4${\tau }_2={\mu }_4/{\sigma }^4$，也稱作峰度係數。

中心距計算公式：