本文主要介紹幾種比較重要的樹形結構：
① 二叉排序樹 ② 平衡二叉樹 ③ B樹 ④ B+樹
⑤ 伸展樹 ⑥ 紅黑樹

分為三個問題來描述每種樹：
① 是什麼？主要應用？ ② 有什麼特點(性質)？ ③ 基於它的操作？

Ⅰ 二叉排序樹(BST)：
二叉排序樹又稱為二叉查詢樹，是一種高效的資料結構。是一種特殊的二叉樹。

特點(性質)：

注意：要先判斷題目給定的二叉排序樹是否為空樹！

二叉排序樹採用二叉連結串列作為儲存結構：

二叉連結串列分為3個域：左孩子、右孩子和資料域。

基於二叉排序樹的演算法：

詳細解釋以及需要注意的地方：

關於比較複雜的刪除的最後一種情況，也就是待刪結點既有左子樹又有右子樹的情況：
(1)中序遍歷，找出待刪結點的直接前驅和直接後繼結點。
(2)可以用前驅結點和後繼結點中的任何一個來替換待刪結點。
(3)過程是先將待刪結點換成前驅(後繼)結點，再將原來前驅(後繼)結點刪除，刪除的過程轉化成了較簡單的前兩種情況。

效能分析：動態查詢效率高

Ⅱ 平衡二叉樹 (AVL)：
由於二叉排序樹的結點分佈不均衡，導致會出現最壞時間複雜度，所以經過改進產生平衡二叉樹。平衡二叉樹不受輸入序列和插入結點的影響，始終保持平衡狀態。

平衡因子：BF( Node) 表示結點的平衡因子
BF( Node) = Node的右子樹高度 - Node的左子樹高度 。

如圖，是一個AVL的例子，其中圓圈裡邊的數字代表BF，外邊的數字代表Node真正的值。有n個結點，樹的高度為，時間複雜度為。

當經過插入或者刪除操作破壞了平衡二叉樹的平衡之後，需要通過一系列操作來調整使其依舊保持平衡。

1.LL型詳解：

同上，對於RL型別，採用相同的分析方法，不同之處在於RL型別先順時針旋轉，再逆時針旋轉。

在從0建立平衡二叉樹的過程中，基於插入演算法，判斷是哪種插入型別的時候是根據 | BF(Node) |=2的結點來判斷的。

平衡二叉樹的刪除比較麻煩，待更。

Ⅲ B樹
B樹不是二叉樹而是樹，是一種多路平衡查詢樹，即樹的分支多於二叉且所有葉子結點在同一層上。B樹在檔案系統和資料庫系統中使用較多，適用於組織動態的索引結構。
用m來表示B樹的階，即所有結點中擁有孩子最多的那個結點的孩子總數。

關於key在葉子結點，直接刪的過程，又分為三種情況。

旋轉指的是，將待刪的結點刪除後，取右兄弟結點最小值上移，將原父結點放在已刪結點的位置，即逆時針旋轉。或者將左兄弟節點的最大值上移，將原父結點放在已刪結點的位置，即順時針旋轉。

Ⅳ B+樹
B樹的變種，應用在多種檔案系統中。

上圖表示簡單的B+樹，從圖中可以看出，所有的關鍵字都會出現在葉子結點中，上層關鍵字是下層最大值的複寫(也可以是最小值的複寫)。
查詢的方法：
(1)可以從最小關鍵字起按順序查詢
(2)可以從根結點開始隨機查詢

關於伸展樹、紅黑樹、以及平衡二叉樹的刪除、待更！