1. 一維隨機變數

1.1 離散型隨機變數

概率函式

設$X$為離散型隨機變數，其全部可能值為$\{a_1,a_2,\cdots\}$，則：
$P(X=a_i)=p_i\quad(i=1,2,\cdots, \,\, p_i\geq0, \,\, p_1+p_2+\cdots=1)$

稱為$X$的概率函式。

分佈函式

設$X$為一隨機變數，則函式
$F(x)=P(X \leq x) \quad(-\infin<x<\infin)$

稱為$X$的分佈函式。

性質：
$\quad\quad 1^。$ $F(x)$非遞降函式，當$x_1<x_2$時，$F(x_1)<F(x_2)$

$\quad\quad 2^。$ 當$x \rightarrow \infin$時，$F(x) \rightarrow 1$；當$x \rightarrow -\infin$時，$F(x) \rightarrow 0$;

常見分佈

1. 二項分佈：$X \sim B(n,p)$
   $P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \quad (i=0,1,\cdots,n)$

   pk(1−p)n−k(i=0,1,⋯,n)
   

2. 泊松分佈：$X \sim P(\lambda)$
   $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad(k=0,1,\cdots)$
   適用於$X$表示一定的時間或空間內事件發生的個數的場合。

3. 二項分佈與泊松分佈關係
   若$X \sim B(n,\lambda /n)$，則：
   $P(X=k)=C_n^k(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$
   當 $n \rightarrow \infin$ 且 $\lambda /n \rightarrow 0$ 時，有:
   $\lim_{n\rightarrow \infin}\frac{C_n^k}{n^k}=\frac{1}{k!},\quad\lim_{n\rightarrow \infin}(1-\frac{\lambda}{n})^n = e^{-\lambda}$
   故特殊條件下的二項分佈近似等於泊松分佈。

1.2 連續型隨機變數

密度函式

設連續型隨機變數$X$有概率分佈函式$F(x)$,則函式
$f(x)=F'(x)$

稱為$X$的概率密度函式，它反映了概率在$x$點處的密集程度。

性質：
$\quad\quad 1^。$ $f(x)\geq0$；

$\quad\quad 2^。$$\int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1$；

$\quad\quad 3^。$$F(x)=\int_{-\infin}^xf(t)dt$；

$\quad\quad 4^。$對任何常數$a<b$，有$P(a\leq X \leq b)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)dx$；

圖1. 概率分佈函式（左）與概率密度函式（右）

常見分佈

1. 正太分佈：$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
   $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{(x-\mu)^2}/2\sigma^2} \quad(-\infin < x < \infin)$
   當$\mu=0,\sigma^2=1$時$，X \sim N(0,1)$，稱為標準正太分佈，記其密度函式和分佈函式分別為$\varphi(x)$和$\varPhi(x)$，則
   $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-x^2/2}$
   若$X \sim N(\mu,\sigma^2)$，則$Y=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$
   
   性質：
   $\quad\quad 1^。$ $\varPhi(x)+\varPhi(-x)=1$；
   
   

2. 指數分佈
   $\begin{aligned} & f(n)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},\quad x>0\\ 0, \quad\quad\quad x\leq0 \end{cases} \\\\ & F(x)=\int_{-\infin}^xf(t)dt= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x},\quad &x>0\\ 0, \quad\quad\quad\quad &x\leq0 \end{cases} \end{aligned}$

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