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(常用演算法2)矩估計與最大似然估計

阿新 • • 發佈：2018-12-27

估計：即是通過已知樣本求出未知的整體引數；

一、矩估計

矩的概念

設有自然數k，常數a，隨機變數x，則E(x−a)k稱之為隨機變數x基於常數a的k階矩；當常數a = 0時，則稱之為原點矩；

矩估計方法

即通過上述k階矩的方法估計整體的範圍。

例：通過一階矩與二階矩估計整體

設總體X服從區間[a,b]的均均分佈，a、b未知，x1、x2...xn是X的樣本值，求a，b;
上述中，欲求兩個未知引數，則至少需有兩個方程，我們採用一階原點矩與二階原點矩來估計a與b;

E(X)=a+b2=x1+x2+...+xnn
E(X2)=D(X)+[E(X)]2=(b−a)212
+(b+a)24
=x21+x22+...+x2nn
因為x1、x2...xn為已知引數，則聯立上述兩個公式，可求得a與b;

二、最大似然估計

最大似然估計方法

若總體X的分佈律P{X=x}=p(x;θ),當樣本值為x1、x2...xn時的概率為

L(θ)=∏i=1np(xi,θ)
最大似然估計，即是求當L(θ)為最大值為，θ的值;
最大似然估計的求解步聚：
1、求出分佈率公式p(x;θ)
2、求出L(θ)=∏ni=1p(xi,θ)
3、求出dln(L(θ))dθ=0
注：第3步求解的目的是L(θ)的最大值點在極值點上，因需L(θ)的導數為0的點；又因為L(θ)直接求極值較複雜，而l
n(L(θ))不會影響函式的單調性，因此用ln(L(θ))來求θ

例

設X~b(1,p),x1、x2...xn是X的樣本值,求引數p的最大似然估計；
1、可知P(X=x) = px(1−p)1−x
2、求L(θ)

L(θ)=∏i=1npxi∗(1−p)1−xi
3、求dln(L(θ))dθ=0
通過該方法則可求出p值；

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