點估計

設總體$X$的分佈函式的形式已知，但它的一個或多個引數未知，藉助於總體$X$的一個樣本來估計總體未知引數的值得問題稱為引數的點估計問題。

舉例：
某炸藥廠，一天中發生著火現象的次數$X$是一個隨機變數，假設$X$服從$\lambda>0$泊松分佈,即$X \sim \pi(\lambda)$。根據現有的樣本量估計引數$\lambda$

著火次數k	0 1 2 3 4 5 6 >=7
發生k次著火的天數	75 90 54 22 6 2 1 0

根據$\lambda=E(X)$,以上的資料表示$X$

=0X=0出現了75次，$X=1$出現了90次…，一共有250個樣本
$E(X)=\frac{0 \times 75+1 \times 90 +2 \times 54+3 \times 22 +4 \times 6 + 5 \times 2+ 6 \times 1}{250}=1.22$
所以估計引數$\lambda=1.22$

點估計：設總體$X$的分佈函式$F(x;\theta)$的形式為已知，$\theta$

\theta是待估引數，$X_{1},X_{2},...,X_{n}$是$X$的一個樣本，$x_{1},x_{2},...,x_{n}$是對應的樣本值。點估計問題是構造出一個適當的統計量$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},...,X_{n})$,用它的觀察值$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$作為未知引數$\theta$

的近似值，稱$\hat{\theta}(X_{1},X_{2},...,X_{n})$為$\theta$的估計量，$\hat{\theta}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$為$\theta$的估計值。
下面介紹兩種常用的構造估計量的方法：矩估計和最大似然估計
##矩估計法
設$X$為連續型隨機變數，其概率密度為$f(x:\theta_{1}, \theta_{2},...,\theta_{k})$;或$X$為離散型隨機變數，其概率密度為$P\{X=x\}=p(x;\theta_{1}, \theta_{2},...,\theta_{k})$,其其中$\theta_{1}, \theta_{2},...,\theta_{k}$為待估引數。假設總體$X$前$k$階矩為：
$\mu_{l}=E(X^{l})=\int_{-\infty}^{\infty}x^{l}f(x:\theta_{1}, \theta_{2},...,\theta_{k}) dx,(X是連續型)$
$\mu_{l}=E(X^{l})=\sum_{x \in R_{x}}x^{l}p(x;\theta_{1}, \theta_{2},...,\theta_{k}),(X是離散型)$
$l=1,2,\cdots,k$
其中，$R_{x}$是$x$可能取值的範圍。
$X_{1},X_{2},...,X_{n}$是來自$X$的樣本，樣本矩為$A_{l}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{l}$
樣本矩依概率收斂於相應的總體矩$u_{l}$，樣本矩的連續函式依概率收斂於相應的總體矩的連續函式。因此，可以使用樣本矩作為相應的總體矩的估計量，樣本矩的連續函式作為相應的總體矩的連續函式的估計量，此估計法被稱為矩估計法。具體做法如下：
$\left\{\begin{matrix} \mu_{1}=\mu_{1}(\theta_{1},\theta_{2},\cdots ,\theta_{k})\\ \mu_{2}=\mu_{2}(\theta_{1},\theta_{2},\cdots ,\theta_{k})\\ \cdots\\ \mu_{k}=\mu_{k}(\theta_{1},\theta_{2},\cdots ,\theta_{k}) \end{matrix}\right.$