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圖 | 儲存結構：鄰接矩陣及C語言實現

阿新 • • 發佈：2018-12-28

使用圖結構表示的資料元素之間雖然具有“多對多”的關係，但是同樣可以採用順序儲存，也就是使用陣列有效地儲存圖。

鄰接矩陣

鄰接矩陣(Adjacency Matrix)，又稱 陣列表示法，儲存方式是用兩個陣列來表示圖：

  • 一個一維陣列儲存圖中頂點本身資訊；
  • 一個二維陣列(稱為鄰接矩陣)儲存圖中的邊或弧的資訊。

儲存圖中各頂點本身資訊，使用一維陣列就足夠了；儲存頂點之間的關係（邊或弧）時，要記錄每個頂點和其它所有頂點之間的關係，所以需要使用二維陣列。

不同型別的圖，儲存的方式略有不同。根據圖有無權，可以將圖劃分為兩大類：圖

和網 。圖，包括無向圖和有向圖；網，是指帶權的圖，包括無向網和有向網。

儲存方式的不同，指的是：在使用二維陣列儲存圖中頂點之間的關係時，如果頂點之間存在邊或弧，在相應位置用 1 表示，反之用 0 表示；如果使用二維陣列儲存網中頂點之間的關係，頂點之間如果有邊或者弧的存在，在陣列的相應位置儲存其權值；反之用 ∞ 表示。

這裡“∞”表示一個計算機允許的、大於所有邊上權值的值。

結構程式碼表示：

#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //頂點的最大個數
#define VRType int                          
 
//表示頂點之間的關係的變數型別
#define InfoType char                       //儲存弧或者邊額外資訊的指標變數型別
#define VertexType int                      //圖中頂點的資料型別
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //列舉圖的 4 種類型

typedef struct {
    VRType adj;                             //對於無權圖，用 1 或 0 表示是否相鄰；對於帶權圖，直接為權值。
    InfoType * info;
 
                        //弧或邊額外含有的資訊指標
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //儲存圖中頂點資料
    AdjMatrix arcs;                         //二維陣列，記錄頂點之間的關係
    int vexnum,arcnum;                      //記錄圖的頂點數和弧（邊）數
    GraphKind kind;                         //記錄圖的種類
}MGraph;

以無向圖為例：

在此二維陣列中，每一行代表一個頂點，依次從 V1 到 V7 ，每一列也是如此。比如 arcs[0][1] = 1 ，表示 V1 和 V2 之間有邊存在；而 arcs[0][4] = 0，說明 V1 和 V5 之間沒有邊（不能直接到達）。

無向圖鄰接矩陣的特點：

  • 鄰接矩陣是一個對稱矩陣，而且主對角線一定為零。在儲存時可以採用壓縮儲存的方式儲存下三角或者上三角；
  • 頂點 Vi 的度等於第(i-1)行非零元素個數，或第(i-1)列非零元素個數。例如，第一行有三個 1，說明 V1 有三個邊，所以度為 3：
  • 用鄰接矩陣表示圖，很容易確定圖中任意兩個頂點是否有邊相連；
  • 求頂點 Vi 的所有鄰接點就是將矩陣中第(i-1)行元素掃描一遍，arc[i-1][j]為1就是鄰接點。

有向圖鄰接矩陣的特點：

  • 有向圖是有講究的，要考慮入度和出度，頂點 Vi 的入度為第(i-1)列的非零元素個數，頂點 Vi 的出度為第(i-1)行的非零元素個數。

具體實現程式碼

#include <stdio.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //頂點的最大個數
#define VRType int                          //表示頂點之間的關係的變數型別
#define InfoType char                       //儲存弧或者邊額外資訊的指標變數型別
#define VertexType int                      //圖中頂點的資料型別
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //列舉圖的 4 種類型

typedef struct {
    VRType adj;                             //對於無權圖，用 1 或 0 表示是否相鄰；對於帶權圖，直接為權值。
    InfoType * info;                        //弧或邊額外含有的資訊指標
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //儲存圖中頂點資料
    AdjMatrix arcs;                         //二維陣列，記錄頂點之間的關係
    int vexnum,arcnum;                      //記錄圖的頂點數和弧（邊）數
    GraphKind kind;                         //記錄圖的種類
}MGraph;

//根據頂點本身資料，判斷出頂點在二維陣列中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
    int i=0;
    //遍歷一維陣列，找到變數v
    for (; i<G->vexnum; i++) {
        if (G->vexs[i]==v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到，輸出提示語句，返回-1
    if (i>G->vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}

//構造有向圖
void CreateDG(MGraph *G){
    //輸入圖含有的頂點數和弧的個數
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    //依次輸入頂點本身的資料
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    //初始化二維矩陣，全部歸0，指標指向NULL
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    //在二維陣列中新增弧的資料
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        //輸入弧頭和弧尾
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        //確定頂點位置
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        //排除錯誤資料
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        //將正確的弧的資料加入二維陣列
        G->arcs[n][m].adj=1;
    }
}

//構造無向圖
void CreateDN(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=1;
        G->arcs[m][n].adj=1;//無向圖的二階矩陣沿主對角線對稱
    }
}

//構造有向網，和有向圖不同的是二階矩陣中儲存的是權值。
void CreateUDG(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
    }
}

//構造無向網。和無向圖唯一的區別就是二階矩陣中儲存的是權值
void CreateUDN(MGraph* G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int m=LocateVex(G, v1);
        int n=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
        G->arcs[m][n].adj=w;//矩陣對稱
    }
}

void CreateGraph(MGraph *G){
    //選擇圖的型別
    scanf("%d",&(G->kind));
    //根據所選型別，呼叫不同的函式實現構造圖的功能
    switch (G->kind) {
        case DG:
            return CreateDG(G);
            break;
        case DN:
            return CreateDN(G);
            break;
        case UDG:
            return CreateUDG(G);
            break;
        case UDN:
            return CreateUDN(G);
            break;
        default:
            break;
    }
}

//輸出函式
void PrintGrapth(MGraph G)
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            printf("%d ", G.arcs[i][j].adj);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    MGraph G;//建立一個圖的變數
    CreateGraph(&G);//呼叫建立函式，傳入地址引數
    PrintGrapth(G);//輸出圖的二階矩陣
    return 0;
}

注意：在此程式中，構建無向網和有向網時，對於之間沒有邊或弧的頂點，相應的二階矩陣中存放的是 0。目的只是為了方便檢視執行結果，而實際上如果頂點之間沒有關聯，它們之間的距離應該是無窮大（∞）。

例如，使用上述程式儲存下圖 中（a）的有向網時，儲存的兩個陣列如下圖 （b）所示：


相應地執行結果為：

2
6,10
1
2
3
4
5
6
1,2,5
2,3,4
3,1,8
1,4,7
4,3,5
3,6,9
6,1,3
4,6,6
6,5,1
5,4,5
0 5 0 7 0 0
0 0 4 0 0 0
8 0 0 0 0 9
0 0 5 0 0 6
0 0 0 5 0 0
3 0 0 0 1 0

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