title: 牛客練習賽34 E little w and Digital Root(數位dp)
date: 2018-12-17 22:38:37
tags: 數位dp
categories：ACM

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題目描述

數根(又稱數字根Digital root)是正整數的一種性質，換句話說，每個正整數都有一個數根。 數根是將一正整數的各個位數相加(即橫向相加)，若加完後的值大於等於10的話，則繼續將各位數進行橫向相加直到其值小於十為止，或是，將一數字重複做數字和，直到其值小於十為止，則所得的值為該數的數根。

比如：12345->15->6。

小w現在定義一種叫做小w數根運算，這種運算的規則如下： 首先對十進位制數的每個數位定義了一個權值，個位為1，十位為2，百位為3，千位為4，萬為為5…以此類推 接下來把這個數的各個位數乘以該數位的權值再相加求和，若加完後的值大於等於10的話，則重複此過程，直到整個數字小於10為止，所得的值為小w數根。 現在小w想知道給定一個值域L,R

輸入描述:

第一行輸入一個正整數T(T<=10^4)，表示樣例的組數。對於每組案例： 輸入兩個正整數L,R(1<=L<=R<=1000000000000000000)

輸出描述:

對於每組案例，請先輸出Case #x:，x表示當前樣例編號。
然後在同一行輸出9個整數，分別表示值域內小w數根等於1,2,3,4,5,6,7,8,9的數各有多少個。 整數之間用空格隔開，行末不允許有多餘空格。

輸入

10
1 10
2 55
36 78
15 15
3 59
56 77
89 93
90 90
55 99
1 99
 

輸出

Case #1: 1 2 1 1 1 1 1 1 1
Case #2: 0 7 7 7 7 7 7 6 6
Case #3: 0 5 5 6 6 6 5 5 5
Case #4: 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Case #5: 0 7 8 7 7 7 7 7 7
Case #6: 0 3 3 3 3 2 2 3 3
Case #7: 0 1 1 1 1 0 0 0 1
Case #8: 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Case #9: 0 6 6 5 5 5 6 6 6
Case #10: 1 13 13 12 12 12 12 12 12

思路

• 最大的數根：999999999999999999 -> 1539，小於1600。
• 可以用數位dp模擬，dp[i][j][k], i < 1600 表示數根，j < 20 表示位數，k < 10表示（1-9）的數根

    #include <bits/stdc++.h>
    #define LL  long long
    #define P pair<int, int>
    #define lowbit(x) (x & -x)
    #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
    #define REP(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
    #define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
    #define N 206

    using namespace std;

    int num[20];
    LL dp[1600][20][10];
    int judge(int sta, int tar) {
        int sum = 0;
        int pos = 1;
        while (sta) {
            sum += pos * (sta % 10);
            sta /= 10;
            ++pos;
        }
        if (sum < 10)   return sum == tar;
        else    return judge(sum, tar);
    }

    LL dfs(int sta, int pos, int tar, int limit) {
        if (pos == 0)   return judge(sta, tar);
        if (!limit && dp[sta][pos][tar] != -1)    return dp[sta][pos][tar];
        LL sum = 0;
        int up = limit ? num[pos] : 9;
        rep(i, up + 1) {
            sum += dfs(sta+pos*i, pos-1, tar, limit&&(i == up));
        }
        if (!limit) dp[sta][pos][tar] = sum;
        return sum;
    }

    LL solve(LL x, int tar) {
        int len = 0;
        while (x) {
            num[++len] = x % 10;
            x /= 10;
        }
        return dfs(0, len, tar, 1);
    }

    int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif

        int T, kase = 1;
        scanf("%d", &T);
        mem(dp, -1);
        while (T--) {
            printf("Case #%d:", kase++);
            LL l, r;
            scanf("%lld%lld", &l, &r);
            REP(i, 9) {
                printf(" %lld", solve(r, i) - solve(l-1, i));
            }
            puts("");
        }
        return 0;
    }