題目

題目大意

其實這題的題目大意非常簡練，所以我認為我不用解釋了。

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思考歷程

首先亂推了一波，然後什麼東西都沒有發現。
於是想想 $D(i)$的性質。
我發現，由於每次是將各位上的數字相加。所以最多操作三次。
本來是一個很大的數，然後縮小成百位數，然後縮成十位數，最後縮成個位數。
我想，既然縮小一次就成了百位數了，所以，為什麼不直接把百位數的表打出來，然後再繼續推式子呢？
然後我就把表打了出來。
於是我就發現，我前面的想法盡是沒用的……
因為我發現了一個顯而易見的規律： $D$

( i ) = ( i − 1 ) m

o d    9 + 1 D(i)=(i-1) \mod 9+1
這個規律可以感性理解，也可以理性證明，反正很簡單，我就不說了。
所以說，一個“被喜歡的數”就是能被 $x$

∗ ( ( x − 1 ) m o d    9 + 1 ) x*((x-1)\mod 9+1) 表示的數。
接下來就開始了我的瞎搞歷程（提醒一下，正確性有誤……）
由於 $D(x)<=9$，不妨列舉 $D(x)$，設為 $j$。
設現在的數為 $i$。顯然，如果要成立，首先要滿足 $i \mod j=0$。
然後亂推： $\left(\frac{i}{j}-1\right) \mod 9+1 =j$
所以 $\left(\frac{i}{j}-1\right) \mod 9=j-1$
由於 $j-1< 9$，所以 $\frac{i}{j}-1 \equiv j-1 (\mod 9)$，所以 $\frac{i}{j} \equiv j (\mod 9)$
然後就是最尷尬的步驟： $i\equiv j^2(\mod 9)$
所以說，如果 $i$滿足條件，必定有一個 $j$使得 $i \mod j=0$且 $i\equiv j^2(\mod 9)$。
哈，這東西好像可以DP！
設 $f_{i,j,k}$表示到第 $i$位，模 $2520$的餘數為 $j$，第 $i$位上的值為 $k$的數的個數。
（ $2520$是 $1$到 $9$的最小公倍數）
按照之前推出來的條件，我們可以發現它是否為“被喜歡的數”只和 $j$有關。
那我就可以愉快地數位DP了。

然而現實是殘酷的……
WA了……
後來推了好久，我發現原來是上面的一步出現了問題：
我們知道 $\frac{i}{j} \equiv j (\mod 9)$，可以推出 $i\equiv j^2(\mod 9)$。可是後者不一定推出前者。
因為 $9$不是質數……
不過如果只有這點錯誤，隨便改一改那似乎也是可以過得去的。
然後我就發現原來還是需要判重！
怎麼判？數位DP怎麼判？判不了啊！

XC說，今天除了第一題之外，其他的題還是很有難度的。
除了第一題！！！！！！

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正解

先說一個別人家的正解（當然我不懂是為什麼）：
就是打一波表，然後發現，咦，原來是有迴圈節的！
然後就隨隨便便的搞定了……

然後再說一個正經一些的做法：
首先對於一個數 $x*D(x)$，我們可以將其表示為 $(9t+D(x))*D(x)$。
$D(x)$的取值是很少的，也就只有 $9$種。
我們把它當成常數來看，然後就變成 $9D(x)*t+D^2(x)$，變成 $at+b$的形式。
對於一個 $D(x)$，我們可以很容易地計算出它在某一個區間裡的貢獻。
然後我們要去重。
如何去重？容斥原理，將一些式子合併一下就可以了。用擴充套件中國剩餘定理就好。
可以手打擴充套件中國剩餘定理，其實也是可以推出來的嘛……
可是某些機智懶惰的同學發現了一個好方法：
我們將所有的 $D(x)$的式子列出來，然後將它們都模 $9$。
然後就會驚奇地發現下面的這張表：
1 4 0 7 7 0 4 1 0
只有模數相同的有可能可以合併。
所以運算量大大減少……
然後我就全部手推出來了。具體見程式（有的式子合併之後無解，我也有註釋）。
然後這題就愉快地解決了。

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程式碼

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
struct func{
	int a,b,ty;
} d[20];
int cnt;
inline long long getans(long long lim){
	long long res=0;
	for (int i=1;i<=cnt;++i)
		if (lim-d[i].b>=0)
			res+=((lim-d[i].b)/d[i].a+1)*d[i].ty;//計算貢獻……不用解釋
	return res;
}
int main(){
	for (int i=1;i<=9;++i)
		d[++cnt]={i*9,i*i,1};
	d[++cnt]={72,64,-1};//d[1] and d[8]
	d[++cnt]={126,112,-1