【題目】

題目描述：

給出整數 $x$，求它的約數個數

為了加大難度，有 $m$ 次詢問，將每次詢問的答案求和然後模 $1$

輸入格式：

第一行是一個整數 $m$

第二行是整數 $q_1$， $a$， $b$

$q_1$ 表示第一次詢問的數字

第 $i$ 次詢問 $q_i=(q_{i−1}∗a+b)\%c$

輸出格式：

所有詢問的答案之和模 $10^9+7$

樣例資料：

輸入
2
2 2 1 9

輸出
4

提示：

$100\%$ 的資料保證 $m\leq 3\times 10^6, a,b,c\leq10^7,q_i≥1,c≥1$。

【分析】

看到這道題的資料範圍， $q$ 是 $10^7$ 級別的，所以應該是 $O(n)$ 的複雜度

然後打了個暴力，去看正解，發現是用線性篩來篩約數個數，然後就學了一下

首先，新定義兩個陣列 g[i] 和 num[i]，g[i] 表示 $i$ 的約數個數，num[i] 表示 $i$ 最小質因數的個數

舉個例子，對於 12，g[12]=6，num[12]=2（因為 12=2*2*3）

有一個結論，如果把一個數分解成 $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_k}$，那麼一個數的約數個數應為 $\prod ^{\;\,k}_{i=1}(a_i+1)$

現在分三種情況討論一下：

1、若 i 為質數，那麼顯然 g[i]=2,num[i]=1

2、若 i 為合數

由於線上性篩中，一個數只會被它的最小質因數和除它以外的最大因數篩掉，那麼就設這個最小質因數為 $p$，這個因數為 $x$

（1）若 $x$ 為 $p$ 的倍數，此時 $p$ 就是 $i$ 和 $x$ 的最小質因數，也即若把 $x$ 表示成 (num[x]+1)*k（ $k$ 為其他的質因個數 +1 的乘積）， $i$ 就可以表示成 (num[x]+2)*k

$\therefore$ 此時， g[i]=g[x]/(num[x]+1)*(num[x]+2),num[i]=num[x]+1

（2）若 $x$ 不為 $p$ 的倍數，因為 $p$ 是 $i$ 的最小質因數，所以易知 num[i]=1，並且 $i$ 相當於只是在 $x$ 的基礎上多乘了一個 $p$，所以 g[i]=g[x]*2

【程式碼】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 10000005
#define Mod 1000000007
using namespace std;
int prime[N],g[N],num[N];
bool mark[N];
void linear_sieves()
{
	int i,j,sum=0;
	memset(mark,true,sizeof(mark));
	mark[0]=mark[1]=false;g[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)
	{
		if(mark[i])
		{
			g[i]=2;
			num[i]=1;
			prime[++sum]=i;
		}
		for(j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j)
		{
			mark[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				num[i*prime[j]]=num[i]+1;
				g[i*prime[j]]=g[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
				break;
			}
			num[i*prime[j]]=1;
			g[i*prime[j]]=g[i]*2;
		}
	}
}
int main()
{
	linear_sieves();
	int m,i,a,b,c,now;
	scanf("%d%d%d%d%d",&m,&now,&a,&b,&c);
	int ans=g[now];
	for(i=2;i<=m;++i)
	{
		now=(1ll*now*a+b)%c;
		ans=(ans+g[now])%Mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}