【題目】

題目描述：

Tom 最喜歡的歌曲就是《葫蘆娃》。

一日表演唱歌，他盡了洪荒之力，唱響心中聖歌。

隨之，Tom 進入了葫蘆世界。

葫蘆世界有 $n$ 個葫蘆，標號為 $1$ ~ $n$。$n$ 個葫蘆由 $m$ 條藤連線，每條藤連線了兩個葫蘆， 這些藤構成了一張有向無環圖。Tom 爬過每條藤都會消耗一定的能量。

Tom 站在 $1$ 號葫蘆上（你可以認為葫蘆非常大，可以承受 Tom 的體重），他想沿著藤爬到 $n$ 號葫蘆上，其中每個葫蘆只經過一次。

Tom 找到一條路徑，使得消耗的能量與經過的葫蘆數的比值最小。

輸入格式：

輸入檔案第一行兩個正整數 $n,m$，分別表示葫蘆的個數和藤數。

接下來 $m$ 行，每行三個正整數 $u,v,w$，描述一條藤，表示這條藤由 $u$ 連向 $v$，Tom 爬過這條藤需要消耗 $w$ 點能量。

輸出格式：

一行一個實數，表示答案（誤差不超過 $10^{-3}$）。

樣例資料：

輸入 4 6 1 2 1 2 4 6 1 3 2 3 4 4 2 3 3 1 4 8

輸出 2.000

提示：

有 4 種爬法： $1\;->4$，消耗能量 $8$，經過 $2$ 個葫蘆，比值為 $8/2=4$。

所以選第三種或第四種方案，答案為 $2$。

對於所有資料，Tom 爬過每條藤消耗的能量不會超過 $10^3$，且一定存在一條從 $1$ 到 $n$ 的路徑。

【分析】

50 pts：

直接暴力 $dfs$ 一遍即可

100 pts：

新建一個起點 $0$，連線一條 $0$ 到 $1$ 長度為 $0$ 的邊，這樣做的好處是直接將問題轉化為長度和邊數（就不是點數了）的最小比值，更為方便

假設有一個數 $ans$，對於任意一條由 $k$ 條邊組成的路徑，若 $ans$ 合法，必然有： $(w_1+w_2+w_3+…+w_k)/k>=ans$； 移一下項，得： $(w_1+w_2+w_3+…+w_k) >=ans*k$； 再轉換一下，即 $(w_1-ans)+(w_2-ans)+(w_3-ans)+…+(w_k-ans)>=0$。

很顯然我們可以二分答案，每次將所有邊權減去 $mid$ 後求最短路，然後判斷 $d_n$ 是否大於等於 $0$，若是，說明 $ans>=mid$，需要把 $mid$ 調大，不然就說明 $ans<mid$，要把 $mid$ 調小

01分數規劃簡單題，但由於掌握不熟沒有拿滿分。。。

【程式碼】

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 205
#define M 2005
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n,m,t;
int first[N];
int v[M],w[M],next[M];
bool vis[N];
double ww[M],dis[N];
void add(int x,int y,int z)
{
	t++;
	next[t]=first[x];
	first[x]=t;
	v[t]=y;
	w[t]=z;
}
bool check(double mid)
{
	int x,y,i,j;
	for(i=1;i<=t;++i)  ww[i]=w[i]-mid;
	memset(dis,127,sizeof(dis));
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	queue<int>q;dis[0]=0;q.push(0);
	while(!q.empty())
	{
		x=q.front();q.pop();
		vis[x]=false;
		for(i=first[x];i;i=next[i])
		{
			y=v[i];
			if(dis[y]>dis[x]+ww[i])
			{
				dis[y]=dis[x]+ww[i];
				if(!vis[y])
				{
					vis[y]=true;
					q.push(y);
				}
			}
		}
	}
	return dis[n]>=0;
}
int main()
{
//	freopen("calabash.in","r",stdin);
//	freopen("calabash.out","w",stdout);
	int x,y,z,i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	add(0,1,0);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
	}
	double l=0,r=1e6,mid;
	while(r-l>eps)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))  l=mid;
		else  r=mid;
	}
	printf("%.3lf",l);
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}