基本概念

完全二分圖：兩側頂點集大小相等的二分圖

完備匹配：所有頂點都是匹配點的匹配

最大權匹配：在帶權的完全二分圖中，匹配邊的權值和最大的完美匹配。

相等子圖：由原圖的點集和邊權等於頂點標號的和的邊集組成的圖。

KM演算法原理

設左側頂點的頂標集為{Ui},右側頂點的頂標集為{Vj}。

定理：如果含有頂標的二分圖的相等子圖存在完備匹配，則該匹配就是原圖的最大權匹配。

KM演算法通過不斷地調整{Ui}和{Vj}，直到其相等子圖存在一個完備匹配，然後用匈牙利演算法求出這個完備匹配。

KM演算法流程

流程：
（1）初始化可行頂標的值
（2）用匈牙利演算法尋找完備匹配
（3）若未找到完備匹配，則修改可行頂標的值
（4）重複（2）（3）直到找到相等子圖的完備匹配為止

虛擬碼：
（1）左側頂標設為所有相連邊的最大邊權，右側頂標設為0
（2）對應圖左側的每一頂點u
（2.1）清空所有標記
（2.2）如果Find（u），繼續
（2.3）否則，修改頂標集
（2.3.1）d=min{Ui+Vj-Wij},對於所有左側被標記右側未標記的邊
（2.3.2)對於所有被標記的點，左側的頂標-=d,右側的頂標+=d
（2.3.3）回到（2.1）
（3）根據輸出的匹配算出最大權

模板

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
 

#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxn=330;
int from[maxn],w[maxn][maxn];
int lx[maxn],ly[maxn],visx[maxn],visy[maxn],slack[maxn];
int nx,ny;
///定義slack[y]=min{lx[x]+ly[y]-w[x][y]},x已訪問，y未訪問

bool Find(int u)
{
    visx[u]=1;
    for(int v=0;v<ny;v++)if(!visy[v])
    {
        int
 
 tmp=lx[u]+ly[v]-w[u][v];
        if(tmp==0)
        {
            visy[v]=1;
            if(from[v]==-1 || Find(from[v]))
            {
                from[v]=u;
                return true;
            }
        }
        else slack[v]=min(slack[v],tmp);
    }
    return false;
}
int KM()
{
    for(int i=0;i<nx;i++)
    {
        ly[i]=0;
        lx[i]=-INF;
        for(int j=0;j<ny;j++)
            lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);
    }
    memset(from,-1,sizeof(from));
    for(int u=0;u<nx;u++)
    {
        for(int i=0;i<ny;i++) slack[i]=INF;
        while(true)
        {
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            if(Find(u)) break;
            int d=INF;
            for(int i=0;i<ny;i++)if(!visy[i])
                d=min(d,slack[i]);
            for(int i=0;i<nx;i++)if(visx[i])
                lx[i]-=d;
            for(int i=0;i<ny;i++)
            {
                if(visy[i]) ly[i]+=d;
                else slack[i]-=d;
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<ny;i++)
        if(from[i]!=-1) ans+=w[from[i]][i];
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        nx=ny=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&w[i][j]);
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}

模板題