HDU2255 奔小康賺大錢 (帶權二分圖最優匹配) 模板題【KM演算法】
阿新 • • 發佈：2018-11-19
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奔小康賺大錢
Problem Description 傳 說在遙遠的地方有一個非常富裕的村落,有一天,村長決定進行制度改革：重新分配房子。這可是一件大事,關係到人民的住房問題啊。村裡共有n間房間,剛好有n家老百姓,考慮到每家都要有房住（如果有老百姓沒房子住的話，容易引起不安定因素），每家必須分配到一間房子且只能得到一間房子。
另一方面,村長和另外的村領導希望得到最大的效益,這樣村裡的機構才會有錢.由於老百姓都比較富裕,他們都能對每一間房子在他們的經濟範圍內出一定的價格,比如有3間房子,一家老百姓可以對第一間出10萬,對第2間出2萬,對第3間出20萬.(當然是在他們的經濟範圍內).現在這個問題就是村領導怎樣分配房子才能使收入最大.(村民即使有錢購買一間房子但不一定能買到,要看村領導分配的).
（1）可行點標：每個點有一個標號，記lx[i]為X方點i的標號，ly[j]為Y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，則這一組點標是可行的。特別地，對於lx[i]+ly[j]=W的邊(i, j, W)，稱為可行邊；
（2）KM 演算法的核心思想就是通過修改某些點的標號（但要滿足點標始終是可行的），不斷增加圖中的可行邊總數，直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配為止，此時這個 匹配一定是最佳的（因為由可行點標的的定義，圖中的任意一個完全匹配，其邊權總和均不大於所有點的標號之和，而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所 有點的標號之和，故這個匹配是最佳的）。一開始，求出每個點的初始標號：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每個X方點的初始標號為與這個X方 點相關聯的權值最大的邊的權值），ly[j]=0（即每個Y方點的初始標號為0）。這個初始點標顯然是可行的，並且，與任意一個X方點關聯的邊中至少有一條可行邊
（3）然後，從每個X方點開始DFS增廣。DFS增廣的過程與最大匹配的Hungary演算法基本相同，只是要注意兩點：一是隻找可行邊，二是要把搜尋過程中遍歷到的X方點全部記下來（可以用vst搞一下），以進行後面的修改；
（4） 增廣的結果有兩種：若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下一個點的增廣。若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的 數量增加。方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的X方點的標號全部減去一個常數d，所有在增廣軌中的Y方點的標號全部加上一個常數d，則 對於圖中的任意一條邊(i, j, W)（i為X方點，j為Y方點）：
<1>i和j都在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變（原來是可行邊則現在仍是，原來不是則現在仍不是）；
<2>i在增廣軌中而j不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d，也就是原來這條邊不是可行邊（否則j就會被遍歷到了），而現在可能是；
<3>j在增廣軌中而i不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原來這條邊不是可行邊（若這條邊是可行邊，則在遍歷到j時會緊接著執行DFS(i)，此時i就會被遍歷到），現在仍不是；
<4>i和j都不在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變。
這 樣，在進行了這一步修改操作後，圖中原來的可行邊仍可行，而原來不可行的邊現在則可能變為可行邊。那麼d的值應取多少？顯然，整個點標不能失去可行性，也 就是對於上述的第<2>類邊，其lx[i]+ly[j]>=W這一性質不能被改變，故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作為d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性，另一方面，經過這一步後，圖中至少會增加一條可行邊。
（5）修改後，繼續對這個X方點DFS增廣，若還失敗則繼續修改，直到成功為止；
（6）以上就是KM演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂 標時由於要列舉邊來求d值，複雜度為O(n2)。實際上KM演算法的複雜度是可以做到O(n3)的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函式slack，每次開 始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與 A[i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修 改頂標後，要把所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 const int N=310; 7 const int INF = 0x3f3f3f3f; 8 9 int n,nx,ny; 10 int linker[N],lx[N],ly[N],slack[N]; //lx,ly為頂標，nx,ny分別為x點集y點集的個數 11 int visx[N],visy[N],w[N][N]; 12 13 int DFS(int x){ 14 visx[x]=1; 15 for(int y=1;y<=ny;y++){ 16 if(visy[y])continue; //每次只常識匹配一次y，相當於匈牙利中的vis[] 17 int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; //x,y期望值之和與x,y之間的權值的差值 18 if(tmp==0){ //x,y之間期望值==他們之間權值時符合要求 19 visy[y]=1; 20 if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y])){ //y沒有歸屬者，或者y的原始歸屬者能夠找到其他歸屬者 21 linker[y]=x; 22 return 1; 23 } 24 }else slack[y]=min(slack[y],tmp); 25 } 26 return 0; 27 } 28 29 int KM(){ 30 int i,j; 31 memset(linker,-1,sizeof(linker)); 32 memset(ly,0,sizeof(ly)); //初始化，y的期望值為0 33 for(i=1;i<=nx;i++) //lx為x的期望值,lx初始化為與它關聯邊中最大的 34 for(j=1,lx[i]=-INF;j<=ny;j++) 35 if(w[i][j]>lx[i]) 36 lx[i]=w[i][j]; 37 //為每一個x嘗試解決歸屬問題 38 for(int x=1;x<=nx;x++){ 39 for(i=1;i<=ny;i++)slack[i]=INF; 40 while(true){ 41 memset(visx,0,sizeof(visx)); 42 memset(visy,0,sizeof(visy)); 43 if(DFS(x))break; //若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下一個點的增廣 44 //若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。 45 //方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的X方點的標號全部減去一個常數d， 46 //所有在增廣軌中的Y方點的標號全部加上一個常數d 47 int d=INF; 48 for(i=1;i<=ny;i++) 49 if(!visy[i])d=min(slack[i],d); //d為沒有匹配到的y的slack中的最小值 50 for(i=1;i<=nx;i++) 51 if(visx[i])lx[i]-=d; 52 for(i=1;i<=ny;i++) 53 if(visy[i])ly[i]+=d; 54 else slack[i]-=d; //修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值都減去d 55 } 56 } 57 int res=0; 58 for(i=1;i<=ny;i++) 59 if(linker[i]!=-1) 60 res+=w[linker[i]][i]; 61 return res; 62 } 63 64 int main(){ 65 while(~scanf("%d",&n)){ 66 nx=ny=n; 67 for(int i=1;i<=n;i++) 68 for(int j=1;j<=n;j++) 69 scanf("%d",&w[i][j]); 70 int ans=KM(); 71 printf("%d\n",ans); 72 } 73 return 0; 74 }2018-11-17