堆樹（最大堆、最小堆）詳解
一、堆樹的定義
堆樹的定義如下：
（1）堆樹是一顆完全二叉樹；
（2）堆樹中某個節點的值總是不大於或不小於其孩子節點的值；
（3）堆樹中每個節點的子樹都是堆樹。
當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。 當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。如下圖所示，左邊為最大堆，右邊為最小堆。
二、堆樹的操作
以最大堆為例進行講解，最小堆同理。
原始資料為a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，採用順序儲存方式，對應的完全二叉樹如下圖所示：
（1）構造最大堆
在構造堆的基本思想就是：首先將每個葉子節點視為一個堆，再將每個葉子節點與其父節點一起構造成一個包含更多節點的對。
所以，在構造堆的時候，首先需要找到最後一個節點的父節點，從這個節點開始構造最大堆；直到該節點前面所有分支節點都處理完畢，這樣最大堆就構造完畢了。
假設樹的節點個數為n，以1為下標開始編號，直到n結束。對於節點i，其父節點為i/2；左孩子節點為i*2，右孩子節點為i*2+1。最後一個節點的下標為n，其父節點的下標為n/2。
如下圖所示，最後一個節點為7，其父節點為16，從16這個節點開始構造最大堆；構造完畢之後，轉移到下一個父節點2，直到所有父節點都構造完畢。
C++程式碼實現：
定義存放堆的結構如下：
strcut MaxHeap { Etype *heap; int HeapSize; int MaxSize; }; MaxHeap H;
其中，heap是資料元素存放的空間，下標從1開始存數資料，下標為0的作為工作空間，儲存臨時資料。HeapSize是資料元素的個數，MaxSize是存放資料元素空間的大小。
初始化堆方法如下：
void MaxHeapInit (MaxHeap &H) { for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--) { H.heap[0] = H.heap[i]; int son = i*2; while(son <= H.HeapSize) { if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1]) son++; if(H.heap[0] >= H.heap[son]) break; else { H.heap[son/2] = H.heap[son]; son *= 2; } } H.heap[son/2] = H.heap[0]; } }
（2）最大堆中插入節點
最大堆的插入節點的思想就是先在堆的最後新增一個節點，然後沿著堆樹上升。跟最大堆的初始化過程大致相同。
C++程式碼實現：
void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x) { if(H.HeapSize == H.MaxSize) return false; int i = ++H.HeapSize; while(i!=1 && x>H.heap[i/2]) { H.heap[i] = H.heap[i/2]; i = i/2; } H.heap[i] = x; return true; }
（3）最大堆中堆頂節點的刪除
最大堆堆頂節點刪除思想如下：將堆樹的最後的節點提到根結點，然後刪除最大值，然後再把新的根節點放到合適的位置。
C++程式碼實現：
void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x) { if(H.HeapSize == 0) return false; x = H.heap[1]; H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--]; int i = 1, son = i*2; while(son <= H.HeapSize) { if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1]) son++; if(H.heap[0] >= H.heap[son]) break; H.heap[i] = H.heap[son]; i = son; son = son*2; } H.heap[i] = H.heap[0]; return true; }
三、堆樹的應用
利用最大堆、最小堆進行排序。
參考文獻：
1、徹底弄懂最大堆的四種操作(圖解+程式)（JAVA） http://128kj.iteye.com/blog/1728555
2、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031