導讀：

隨著大資料概念的火熱，啤酒與尿布的故事廣為人知。我們如何發現買啤酒的人往往也會買尿布這一規律？資料探勘中的用於挖掘頻繁項集和關聯規則的Apriori演算法可以告訴我們。本文首先對Apriori演算法進行簡介，而後進一步介紹相關的基本概念，之後詳細的介紹Apriori演算法的具體策略和步驟，最後給出Python實現程式碼。

1.Apriori演算法簡介

Apriori演算法是經典的挖掘頻繁項集和關聯規則的資料探勘演算法。A priori在拉丁語中指"來自以前"。當定義問題時，通常會使用先驗知識或者假設，這被稱作"一個先驗"（a priori）。Apriori演算法的名字正是基於這樣的事實：演算法使用頻繁項集性質的先驗性質，即頻繁項集的所有非空子集也一定是頻繁的。Apriori演算法使用一種稱為逐層搜尋的迭代方法，其中k項集用於探索(k+1)項集。首先，通過掃描資料庫，累計每個項的計數，並收集滿足最小支援度的項，找出頻繁1項集的集合。該集合記為L1。然後，使用L1找出頻繁2項集的集合L2，使用L2找出L3，如此下去，直到不能再找到頻繁k項集。每找出一個Lk需要一次資料庫的完整掃描。Apriori演算法使用頻繁項集的先驗性質來壓縮搜尋空間。

2. 基本概念

• 項與項集：設itemset={item1, item_2, …, item_m}是所有項的集合，其中，item_k(k=1,2,…,m)成為項。項的集合稱為項集（itemset），包含k個項的項集稱為k項集(k-itemset)。
• 事務與事務集：一個事務T是一個項集，它是itemset的一個子集，每個事務均與一個唯一識別符號Tid相聯絡。不同的事務一起組成了事務集D，它構成了關聯規則發現的事務資料庫。
• 關聯規則：關聯規則是形如A=>B的蘊涵式，其中A、B均為itemset的子集且均不為空集，而A交B為空。
• 支援度(support)
  ：關聯規則的支援度定義如下：

  

  其中表示事務包含集合A和B的並（即包含A和B中的每個項）的概率。注意與P(A or B)區別，後者表示事務包含A或B的概率。

• 置信度(confidence)：關聯規則的置信度定義如下：

• 項集的出現頻度(support count)：包含項集的事務數，簡稱為項集的頻度、支援度計數或計數。
• 頻繁項集(frequent itemset)：如果項集I的相對支援度滿足事先定義好的最小支援度閾值（即I的出現頻度大於相應的最小出現頻度（支援度計數）閾值），則I是頻繁項集。
• 強關聯規則：滿足最小支援度和最小置信度的關聯規則，即待挖掘的關聯規則。

3. 實現步驟

一般而言，關聯規則的挖掘是一個兩步的過程：

1. 1. 找出所有的頻繁項集
   2. 由頻繁項集產生強關聯規則

3.1挖掘頻繁項集

3.1.1 相關定義

• 連線步驟：頻繁(k-1)項集Lk-1的自身連線產生候選k項集Ck

    Apriori演算法假定項集中的項按照字典序排序。如果Lk-1中某兩個的元素（項集）itemset1和itemset2的前(k-2)個項是相同的，則稱itemset1和itemset2是可連線的。所以itemset1與itemset2連線產生的結果項集是{itemset1[1], itemset1[2], …, itemset1[k-1], itemset2[k-1]}。連線步驟包含在下文程式碼中的create_Ck函式中。

• 剪枝策略

由於存在先驗性質：任何非頻繁的(k-1)項集都不是頻繁k項集的子集。因此，如果一個候選k項集Ck的(k-1)項子集不在Lk-1中，則該候選也不可能是頻繁的，從而可以從Ck中刪除，獲得壓縮後的Ck。下文程式碼中的is_apriori函式用於判斷是否滿足先驗性質，create_Ck函式中包含剪枝步驟，即若不滿足先驗性質，剪枝。

• 刪除策略

基於壓縮後的Ck，掃描所有事務，對Ck中的每個項進行計數，然後刪除不滿足最小支援度的項，從而獲得頻繁k項集。刪除策略包含在下文程式碼中的generate_Lk_by_Ck函式中。

3.1.2 步驟

1. 每個項都是候選1項集的集合C1的成員。演算法掃描所有的事務，獲得每個項，生成C1（見下文程式碼中的create_C1函式）。然後對每個項進行計數。然後根據最小支援度從C1中刪除不滿足的項，從而獲得頻繁1項集L1。
2. 對L1的自身連線生成的集合執行剪枝策略產生候選2項集的集合C2，然後，掃描所有事務，對C2中每個項進行計數。同樣的，根據最小支援度從C2中刪除不滿足的項，從而獲得頻繁2項集L2。
3. 對L2的自身連線生成的集合執行剪枝策略產生候選3項集的集合C3，然後，掃描所有事務，對C3每個項進行計數。同樣的，根據最小支援度從C3中刪除不滿足的項，從而獲得頻繁3項集L3。
4. 以此類推，對Lk-1的自身連線生成的集合執行剪枝策略產生候選k項集Ck，然後，掃描所有事務，對Ck中的每個項進行計數。然後根據最小支援度從Ck中刪除不滿足的項，從而獲得頻繁k項集。

3.2 由頻繁項集產生關聯規則

一旦找出了頻繁項集，就可以直接由它們產生強關聯規則。產生步驟如下：

• 對於每個頻繁項集itemset，產生itemset的所有非空子集（這些非空子集一定是頻繁項集）；
• 對於itemset的每個非空子集s,如果，則輸出，其中min_conf是最小置信度閾值。

4. 樣例以及Python實現程式碼

下圖是《資料探勘：概念與技術》（第三版）中挖掘頻繁項集的樣例圖解。

本文基於該樣例的資料編寫Python程式碼實現Apriori演算法。程式碼需要注意如下兩點：

• 由於Apriori演算法假定項集中的項是按字典序排序的，而集合本身是無序的，所以我們在必要時需要進行set和list的轉換；
• 由於要使用字典（support_data）記錄項集的支援度，需要用項集作為key，而可變集合無法作為字典的key，因此在合適時機應將項集轉為固定集合frozenset。

"""
# Python 2.7
# Filename: apriori.py
# Author: llhthinker
# Email: hangliu56[AT]gmail[DOT]com
# Blog: http://www.cnblogs.com/llhthinker/p/6719779.html
# Date: 2017-04-16
"""


def load_data_set():
    """
    Load a sample data set (From Data Mining: Concepts and Techniques, 3th Edition)
    Returns: 
        A data set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
    """
    data_set = [['l1', 'l2', 'l5'], ['l2', 'l4'], ['l2', 'l3'],
            ['l1', 'l2', 'l4'], ['l1', 'l3'], ['l2', 'l3'],
            ['l1', 'l3'], ['l1', 'l2', 'l3', 'l5'], ['l1', 'l2', 'l3']]
    return data_set


def create_C1(data_set):
    """
    Create frequent candidate 1-itemset C1 by scaning data set.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
    Returns:
        C1: A set which contains all frequent candidate 1-itemsets
    """
    C1 = set()
    for t in data_set:
        for item in t:
            item_set = frozenset([item])
            C1.add(item_set)
    return C1


def is_apriori(Ck_item, Lksub1):
    """
    Judge whether a frequent candidate k-itemset satisfy Apriori property.
    Args:
        Ck_item: a frequent candidate k-itemset in Ck which contains all frequent
                 candidate k-itemsets.
        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.
    Returns:
        True: satisfying Apriori property.
        False: Not satisfying Apriori property.
    """
    for item in Ck_item:
        sub_Ck = Ck_item - frozenset([item])
        if sub_Ck not in Lksub1:
            return False
    return True


def create_Ck(Lksub1, k):
    """
    Create Ck, a set which contains all all frequent candidate k-itemsets
    by Lk-1's own connection operation.
    Args:
        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.
        k: the item number of a frequent itemset.
    Return:
        Ck: a set which contains all all frequent candidate k-itemsets.
    """
    Ck = set()
    len_Lksub1 = len(Lksub1)
    list_Lksub1 = list(Lksub1)
    for i in range(len_Lksub1):
        for j in range(1, len_Lksub1):
            l1 = list(list_Lksub1[i])
            l2 = list(list_Lksub1[j])
            l1.sort()
            l2.sort()
            if l1[0:k-2] == l2[0:k-2]:
                Ck_item = list_Lksub1[i] | list_Lksub1[j]
                # pruning
                if is_apriori(Ck_item, Lksub1):
                    Ck.add(Ck_item)
    return Ck


def generate_Lk_by_Ck(data_set, Ck, min_support, support_data):
    """
    Generate Lk by executing a delete policy from Ck.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
        Ck: A set which contains all all frequent candidate k-itemsets.
        min_support: The minimum support.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
    Returns:
        Lk: A set which contains all all frequent k-itemsets.
    """
    Lk = set()
    item_count = {}
    for t in data_set:
        for item in Ck:
            if item.issubset(t):
                if item not in item_count:
                    item_count[item] = 1
                else:
                    item_count[item] += 1
    t_num = float(len(data_set))
    for item in item_count:
        if (item_count[item] / t_num) >= min_support:
            Lk.add(item)
            support_data[item] = item_count[item] / t_num
    return Lk


def generate_L(data_set, k, min_support):
    """
    Generate all frequent itemsets.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
        k: Maximum number of items for all frequent itemsets.
        min_support: The minimum support.
    Returns:
        L: The list of Lk.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
    """
    support_data = {}
    C1 = create_C1(data_set)
    L1 = generate_Lk_by_Ck(data_set, C1, min_support, support_data)
    Lksub1 = L1.copy()
    L = []
    L.append(Lksub1)
    for i in range(2, k+1):
        Ci = create_Ck(Lksub1, i)
        Li = generate_Lk_by_Ck(data_set, Ci, min_support, support_data)
        Lksub1 = Li.copy()
        L.append(Lksub1)
    return L, support_data


def generate_big_rules(L, support_data, min_conf):
    """
    Generate big rules from frequent itemsets.
    Args:
        L: The list of Lk.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
        min_conf: Minimal confidence.
    Returns:
        big_rule_list: A list which contains all big rules. Each big rule is represented
                       as a 3-tuple.
    """
    big_rule_list = []
    sub_set_list = []
    for i in range(0, len(L)):
        for freq_set in L[i]:
            for sub_set in sub_set_list:
                if sub_set.issubset(freq_set):
                    conf = support_data[freq_set] / support_data[freq_set - sub_set]
                    big_rule = (freq_set - sub_set, sub_set, conf)
                    if conf >= min_conf and big_rule not in big_rule_list:
                        # print freq_set-sub_set, " => ", sub_set, "conf: ", conf
                        big_rule_list.append(big_rule)
            sub_set_list.append(freq_set)
    return big_rule_list


if __name__ == "__main__":
    """
    Test
    """
    data_set = load_data_set()
    L, support_data = generate_L(data_set, k=3, min_support=0.2)
    big_rules_list = generate_big_rules(L, support_data, min_conf=0.7)
    for Lk in L:
        print "="*50
        print "frequent " + str(len(list(Lk)[0])) + "-itemsets\t\tsupport"
        print "="*50
        for freq_set in Lk:
            print freq_set, support_data[freq_set]
    print
    print "Big Rules"
    for item in big_rules_list:
        print item[0], "=>", item[1], "conf: ", item[2]

程式碼執行結果截圖如下：

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參考：

《資料探勘：概念與技術》（第三版）

《機器學習實戰》