問題描述

• 求一個序列的最大子段和即最大連續子序列之和。例如序列[4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2]的最大子段和為11=[4+(-3)+5+(-2)+(-1)+(2)+(6)]。

1. 蠻力演算法

• 思想：從序列首元素開始窮舉所有可能的子序列。
• 程式碼示例(C++):

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubsequenceSum(const int array[], int n)
{
    int tempSum, maxSum;
    maxSum = 0;
    for
 
 (int i = 0;i < n;i++)       // 子序列起始位置
    {
        for (int j = i;j < n;j++)   // 子序列終止位置
        {
            tempSum = 0;    
            for (int k = i;k < j;k++)   // 子序列遍歷求和
                tempSum += array[k];
            if (tempSum > maxSum)       // 更新最大和值
                maxSum = tempSum;
        }
    }
    return
 
 maxSum;
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 8);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

• 演算法複雜度為O(n3)$O(n^3)$

2. 改進的蠻力演算法

• 思想：直接在劃定子序列時累加元素值，減少一層迴圈。
• 程式碼示例(C++):

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSubsequenceSum(const int array[],int n)
{
    int tempSum, maxSum;
    maxSum = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        tempSum = 0;
        for (int j = i;j < n;j++)
        {
            tempSum += array[j];
            if (tempSum > maxSum)
                maxSum = tempSum;
        }
    }
    return maxSum;
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 8);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

• 演算法複雜度為O(n2)$O(n^2)$

3. 分治遞迴的演算法

• 思想：將序列劃分為左右兩部分，則最大子段和可能在三處出現：左半部、右半部以及跨越左右邊界的部分。遞迴的終止條件是：left == right。
• 程式碼示例：

#include<iostream>
using namespace std;
int max3(int a, int b, int c)           // 求三個數的最大值
{
    int max = a;
    if (b > max)
        max = b;
    if (c > max)
        max = c;
    return max;
}

int MaxSubsequenceSum(const int array[], int left, int right)   
{
    if (left == right)          // 設定基準，即遞迴終止條件
        return array[left];

    int middle = (left + right) / 2;

    int leftMaxSubsequenceSum = MaxSubsequenceSum(array, left, middle);     // 求左半部分最大子序列和
    int rightMaxSubsquenceSum = MaxSubsequenceSum(array, middle + 1, right);    // 求右半部分最大子序列和

    // 處理左右邊界問題：最大子序列跨越中間，包含左半部分最右一個數，同時包含右半部分最左一個數
    int maxLeftBorderSum = 0;   
    int maxRightBorderSum = 0;  
    int tempSum = 0;        // 臨時求和變數
    for (int i = middle;i >= left;i--)
    {
        tempSum += array[i];
        if (tempSum > maxLeftBorderSum)
            maxLeftBorderSum = tempSum;     // 左邊包含邊界最大序列和
    }
    tempSum = 0;
    for (int i = middle + 1;i < right;i++)
    {
        tempSum += array[i];
        if (tempSum > maxRightBorderSum)
            maxRightBorderSum = tempSum;    // 右邊包含邊界最大序列和
    }

    int maxBorderSum = maxRightBorderSum + maxLeftBorderSum;        // 最大邊界子序列和等於兩部分邊界之和
    return max3(leftMaxSubsquenceSum, maxBorderSum, rightMaxSubsquenceSum);         // 返回三個部分的最大子序列和
}

int main()
{
    const int a[] = { 4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2 };
    int maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, 0, 7);
    cout << "The max subsequence sum of a is: " << maxSubSum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

• 演算法複雜度分析：假設求解N$N$個元素序列的最大子問題的時間複雜度為T(N)$T(N)$，則T(N)$T(N)$滿足：

  T(N)=2T(N/2)+O(N)$$T(N)=2T(N/2)+O(N)$$且T(1)=1$T(1)=1$，其中，T(N/2)$T(N/2)$表式分治後的左右兩邊求解複雜度，O(N)$O(N)$為求解跨越左右邊界的最大子段和的開銷。求解該遞推公式得遞迴演算法複雜度為T(N)=O(NlogN)$T(N)=O(N\log N)$

• 遞迴演算法的基本準則：

• (1) 基準情形：存在最小子問題的解，也稱為遞迴終止的條件。
• (2) 不斷推進：每一次遞迴呼叫都要使得求解狀況不斷地朝基準情形方向推進。
• (3) 設計法則：假設所有遞迴呼叫都能執行。
• (4) 合成效益法則：在求解一個問題的同一例項式，要避免在不同的遞迴呼叫中做重複的工作。如：遞迴求斐波那契數就是一個不好的例子。

4. 動態規劃的演算法

• 原問題：考慮最大子段和原問題：給定n$n$個數(可以為負數)的序列(a1,a2,...,an)$(a_1,a_2,...,a_n)$，求max{0,max1≤i≤j≤n∑jk=iak}$max\{0,\underset{1\le i\le j\le n}{max}\sum _{k=i}^j{a}_k\}$
• 子問題界定：設前邊界為1，後邊界為i$i$，且C(i)$C(i)$是子序列A[1,..i]$A[1,..i]$必須包含元素A[i]$A[i]$的向前連續延伸的最大子段和：C[i]=max1≤k≤i{∑j=kiA[j]}$$C[i]=\underset{1\le k\le i}{max}\{\sum _{j=k}^{i}A[j]\}$$

• 遞推方程滿足：C[i]=max{C[i−1]+A[i],A[i]}i=2,...,nC[1]={A[1]ifA[1]>00ifA[1]<0$$\begin{array}{r}C[i]=max\{C[i-1]+A[i],A[i]\}i=2,...,n\\ C[1]=\{\begin{array}{r}A[1]ifA[1]>0\\ 0ifA[1]<0\end{array}\end{array}$$
• 遍歷所有以i(1≤i≤n)$i(1\le i\le n)$為後邊界的最大子段和Ci$C_i$得出最優解：