時間序列八: 以NASA之名: 卡爾曼濾波器
以NASA之名: 卡爾曼濾波器
'That's one small step for man,one giant leap for mankind.' — Neil Alden Armstron
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引言
二十世紀的阿波羅登月計劃在人類歷史上是濃墨重彩的一筆, 是人類科學發展極其重要的里程碑. 在此計劃中, 阿姆斯特朗在月球上說出了上面的一句話,是對此計劃最最恰當的註釋. 說起來這個計劃很''簡單'': 送人到月球轉一圈,然後再回來. 這麼一個'簡單'的計劃實施起來得有多困難大家心中早有尺度.而卡爾曼濾波器(Kalman filter)就是其中的功臣.
榮耀騎士
卡爾曼濾波(器)是以其主要貢獻者 Rudolf Emil Kalman
現在,時間閃回到 1969年 七月, 當時 Armstrong 正坐在阿波羅11號中,飛向月球. 在此期間掌握飛船的位置及其速度是非常重要的.因為只要偏差超過一定閾值, 飛船的超高速就會將這偏差迅速放大,進而飛船就會偏離預定軌道,最終,極有可能飛向太空就再也回不來了.
那要如何得到飛船在某個時間點的位置與速度呢?
我們知道地面上的科學家在將阿波羅11號發射升空之前肯定會預先計算飛船每個點的位置,或者一定有一個計算精確的計算公式.但, 無論多麼精確的公式都無法包含所有因素,不確定性是無法避免的. 而阿波羅上面肯定會有一套複雜的感測系統來測算飛船的位置與速度, 然而, 感測覺器必然地會有偏差. 也就是說我們會從兩種不同的途徑獲得兩套引數(位置與速度), 這兩套引數一般是不同的,卻又都是不準確的.
我們當然會想到:能不能綜合地考慮這兩套引數,從而獲得一套靠譜的引數,來指導飛船航行? 那這兩個引數如何綜合考慮呢? 在此關鍵時刻,榮耀騎士 — 卡爾曼濾波器登場了.它的出現就是解決此等棘手問題的.
卡爾曼濾波器是如何工作的呢? 我們知道科學家的公式是不會錯的,只不過外界因素干擾,才使其失準的.因此我們以其為基準,用感測器的引數來對基校準. 感測器的引數也有不確定性. 我們的目的是獲得更精準的引數, 故需要在感測引數校正公式引數時,首要任務即是在當前所有資訊面前最小化不確定性.這就是卡爾曼濾波器的作用. 至於它是如何最小化不確定性的,就要涉及公式了, 你確定要上嗎? 如果是,請繼續~
卡爾曼濾波器*
卡爾曼濾波(器)基於線性動態系統,是建立線上性模型上的帶有白噪聲的馬氏鏈. 其與隱馬爾可夫模型(HMM)很相像,最主要的不同點在其隱狀態是連續的,而HMM是離散的.
模型:
其中所有變數均為矩陣(或向量), xk: k 時刻的狀態向量; Ak: 狀態轉移矩陣; Bk: 控制矩陣,uk: 控制向量; 一般,將此控制部分當作確定部分而不包含在模型中,因此上式可簡化為:
{xk=Akxk−1+wkyk=Ckxk+vk
yk : k時刻的觀測向量; Ck : 觀測矩陣; wk,vk均為零均值白噪聲,方差分別為 Qk,Rk, 其互不相關,並與初始狀態亦不相關:
wk:E[wk]=0,σ2k=Qk;vk:E[vk]=0,σ2k=Rk;cov[x0,wk]=0;cov(x0,vk)=0;E[wkvTk]=0.
卡爾曼濾波器即是利用遞推方法及狀態方程(式1或式2) 尋找最小均方誤差狀態變數 xk 的估計值 x^k:
x~k=xk−x^kminE[x~kx~Tk]→x^k
當不考慮白噪聲時:
x^′k=Akx^k−1y^k=Ckx^′k=CkAkx^k−1
其中 x^′k 為 k 時刻狀態的估計值(由上一時刻狀態經轉移矩陣得到), y^k 為測量值的估計值(由狀態估計值推出), 而 x^k
現在稱為狀態校正後的估計值.
觀測向量的誤差(也即新息):
用觀測值來校正狀態變數:
x^k==Akx^k−1+Hk(yk−y^k)Akx^k−1+Hk(yk−CkAkx^k−1)
其中, Hk
稱為增益矩陣,即為一新息加權矩陣.
新息(Innovation)y~k
即是在 k 時刻之前沒有但在 t 時刻產生的新的新資訊. 用代數的語言即是 新息與過去的資訊是正交的:E[y~kyTj]=O,1≤j<k
而且可以容易的推論出, 新息之間也是正交的:
E[y~iy~Tj]=O,i≠j,and1≤i,j≤k
從而可知, 新息y~k
是一個與k 之前時刻的資料不相關,且有白噪聲性質的隨機過程.
校正後的狀態變數估計誤差及其均方值 (Pk
) 還有未經校正的狀態變數估計誤差的均方值 (P′k):x~kPkP′k===xk−x^kE[x~kx~Tk]=E[(xk−x^k)(xk−x^k)T]E[(xk−x^′k)(xk−x^′k)T]
卡爾曼濾波器即是最小化 Pk(不確定性) 的方式來得到 Hk ,最終得到 x^k :
minPk→Hk→x^kx~k====xk−x^kAkxk−1+wk−(Akx^k−1+Hk(yk−CkAkx^k−1))Akxk−1+wk−(Akx^k−1+
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