該系統的真實溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優化結果（該結果在演算法中設定了Q=1e-6，R=1e-1）。

一些網路資料

　　關於Kalman濾波器的理論,其數學公式太多,大家可以去檢視一些這方面的文獻.下面這篇文章對Kalman濾波做了個通俗易懂的介紹,通過文章舉的例子可以巨集觀上理解一下該濾波器,很不錯,推薦一看:http://www.cnblogs.com/feisky/archive/2009/11/09/1599247.html,

中介紹了opencv1.0版本的卡爾曼濾波的結構和函式定義等。

　　kalman濾波簡單介紹

     Kalman濾波理論主要應用在現實世界中個，並不是理想環境。主要是來跟蹤的某一個變數的值，跟蹤的依據是首先根據系統的運動方程來對該值做預測，比如說我們知道一個物體的運動速度，那麼下面時刻它的位置按照道理是可以預測出來的，不過該預測肯定有誤差，只能作為跟蹤的依據。另一個依據是可以用測量手段來測量那個變數的值，當然該測量也是有誤差的，也只能作為依據，不過這2個依據的權重比例不同。最後kalman濾波就是利用這兩個依據進行一些列迭代進行目標跟蹤的。

     在這個理論框架中，有2個公式一定要懂，即：

     第一個方程為系統的運動方程，第二個方程為系統的觀測方程，學過自控原理中的現代控制理論的同學應該對這2個公式很熟悉。具體的相關理論本文就不做介紹了。

     Opencv目標版本中帶有kalman這個類，可以使用它來完成一些跟蹤目的。

　　下面來看看使用Kalman程式設計的主要步驟：

　　步驟一  ：

     Kalman這個類需要初始化下面變數：      

　　轉移矩陣，測量矩陣，控制向量(沒有的話，就是0)，過程噪聲協方差矩陣，測量噪聲協方差矩陣，後驗錯誤協方差矩陣，前一狀態校正後的值，當前觀察值。 

　　步驟二：

　　呼叫kalman這個類的predict方法得到狀態的預測值矩陣，預測狀態的計算公式如下：

　　predicted state (x'(k)): x'(k)=A*x(k-1)+B*u(k)

　　其中x(k-1)為前一狀態的校正值，第一個迴圈中在初始化過程中已經給定了，後面的迴圈中Kalman這個類內部會計算。A,B,u(k),也都是給定了的值。這樣進過計算就得到了系統狀態的預測值x'(k)了。 

　　步驟三：

　　呼叫kalman這個類的correct方法得到加入觀察值校正後的狀態變數值矩陣，其公式為：

　　corrected state (x(k)): x(k)=x'(k)+K(k)*(z(k)-H*x'(k))

　　其中x'(k)為步驟二算出的結果，z(k)為當前測量值，是我們外部測量後輸入的向量。H為Kalman類初始化給定的測量矩陣。K(k)為Kalman增益，其計算公式為：

　　Kalman gain matrix (K(k)): K(k)=P'(k)*Ht*inv(H*P'(k)*Ht+R)

　　計算該增益所依賴的變數要麼初始化中給定，要麼在kalman理論中通過其它公式可以計算。

　　經過步驟三後，我們又重新獲得了這一時刻的校正值，後面就不斷迴圈步驟二和步驟三即可完成Kalman濾波過程。

　　實驗部分

　　本次實驗來源於opencv自帶sample中的例子，該例子是用kalman來完成一個一維的跟蹤，即跟蹤一個不斷變化的角度。在介面中表現為一個點在圓周上勻速跑，然後跟蹤該點。看起來跟蹤點是個二維的，其實轉換成角度就是一維的了。

　　該程式碼中,有這麼幾句
　　KalmanFilter KF(2, 1, 0);
　　...
　　KF.transitionMatrix = *(Mat_<float>(2, 2) << 1, 1, 0, 1);
　　...

　　一直在想Mat_<float>(2, 2) << 1是什麼意思呢?

　　如果是用：Mat_<float> A(2, 2);則這表示的是定義一個矩陣A。

　　但是Mat_<float>(2, 2)感覺又不是定義，貌似也不是數,既然不是數怎能左移呢?後面發現自己想錯了.

　　Mat_<float>(2, 2) << 1, 1, 0, 1是一個整體,即往Mat_<float>(2, 2)的矩陣中賦值1,1,0,1;說白了就是給Mat矩陣賦初值，因為初值沒什麼規律，所以我們不能用zeros，ones等手段來賦值。比如執行下面語句時：

　　Mat a;

　　a = (Mat_<float>(2, 2) << 1, 1, 0, 1);

 　　cout<<a<<endl;

 　 其結果就為

　　[1,1;

　　0,1]

　　實驗結果如下：

　　跟蹤中某一時刻圖1：

　　跟蹤中某一時刻圖2：

　　其中紅色的短線條為目標點真實位置和目標點的測量位置的連線，黃色的短線為目標點真實位置和預測位置的連線，所以2中顏色相交中間那個點座標為目標的真實座標。

實驗主要部分程式碼和註釋(附錄有工程code下載連結地址)：

Kalman.h:

#ifndef KALMAN_H
#define KALMAN_H

#include <QDialog>
#include <QTimer>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/video/video.hpp>

using namespace cv;

namespace Ui {
class kalman;
}

class kalman : public QDialog
{
    Q_OBJECT
    
public:
    explicit kalman(QWidget *parent = 0);
    ~kalman();
    
private slots:

    void on_startButton_clicked();

    void kalman_process();

    void on_closeButton_clicked();

private:
    Ui::kalman *ui;
    Mat img, state, processNoise, measurement;
    KalmanFilter KF;
    QTimer *timer;
    //給定圓心和周長，和圓周上的角度，求圓周上的座標
    static inline Point calcPoint(Point2f center, double R, double angle)
    {
        //sin前面有個負號那是因為圖片的頂點座標在左上角
        return center + Point2f((float)cos(angle), (float)-sin(angle))*(float)R;
    }

};

#endif // KALMAN_H

Kalman.cpp:

#include "kalman.h"
#include "ui_kalman.h"
#include <iostream>

using namespace std;

kalman::kalman(QWidget *parent) :
    QDialog(parent),
    ui(new Ui::kalman)
{
    //在建構函式中定義變數不行？
    img.create(500, 500, CV_8UC3);
    cout<<img.rows<<endl;
    //狀態維數2，測量維數1，沒有控制量
    KF.init(2, 1, 0);
    //狀態值，（角度，角速度）
    state.create(2, 1, CV_32F);
    processNoise.create(2, 1, CV_32F);
    measurement = Mat::zeros(1, 1, CV_32F);
    timer   = new QTimer(this);
    connect(timer, SIGNAL(timeout()), this, SLOT(kalman_process()));

    ui->setupUi(this);
    //這句必須放在ui->setupUi(this)後面，因為只有這樣才能訪問ui->textBrowser
    ui->textBrowser->setFixedSize(500, 500);
}

kalman::~kalman()
{
    delete ui;
}

void kalman::on_startButton_clicked()
{
    /*
      使用kalma步驟一
      下面語句到for前都是kalman的初始化過程，一般在使用kalman這個類時需要初始化的值有：
      轉移矩陣，測量矩陣，過程噪聲協方差，測量噪聲協方差，後驗錯誤協方差矩陣，
      前一狀態校正後的值，當前觀察值
    */

    //產生均值為0，標準差0.1的二維高斯列向量
    randn( state, Scalar::all(0), Scalar::all(0.1) );
    //transitionMatrix為類KalmanFilter中的一個變數，Mat型，是Kalman模型中的狀態轉移矩陣
    //轉移矩陣為[1,1;0,1],2*2維的
    KF.transitionMatrix = *(Mat_<float>(2, 2) << 1, 1, 0, 1);

    //函式setIdentity是給引數矩陣對角線賦相同值，預設對角線值值為1
    setIdentity(KF.measurementMatrix);
    //系統過程噪聲方差矩陣
    setIdentity(KF.processNoiseCov, Scalar::all(1e-5));
    //測量過程噪聲方差矩陣
    setIdentity(KF.measurementNoiseCov, Scalar::all(1e-1));
    //後驗錯誤估計協方差矩陣
    setIdentity(KF.errorCovPost, Scalar::all(1));
    //statePost為校正狀態，其本質就是前一時刻的狀態
    randn(KF.statePost, Scalar::all(0), Scalar::all(0.1));
    //設定定時器時間,預設情況下其該定時器可無限定時，即其SingleShot為false
    //如果將其設定為true，則該定時器只能定時一次
    //因此這裡是每個33ms就去執行一次kalman處理函式
    timer->start(33);
 //   timer->setSingleShot( true );

}


void kalman::kalman_process()
{
    Point2f center(img.cols*0.5f, img.rows*0.5f);
    float R = img.cols/3.f;
    //state中存放起始角，state為初始狀態
    double stateAngle = state.at<float>(0);
    Point statePt = calcPoint(center, R, stateAngle);


    /*
      使用kalma步驟二
      呼叫kalman這個類的predict方法得到狀態的預測值矩陣
    */
    //predicted state (x'(k)): x'(k)=A*x(k-1)+B*u(k)
    //其中x(k-1)為前面的校正狀態，因此這裡是用校正狀態來預測的
    //而校正狀態corrected state (x(k)): x(k)=x'(k)+K(k)*(z(k)-H*x'(k))
    //又與本時刻的預測值和校正值有關係
    Mat prediction = KF.predict();
    //用kalman預測的是角度
    double predictAngle = prediction.at<float>(0);
    Point predictPt = calcPoint(center, R, predictAngle);

    randn( measurement, Scalar::all(0), Scalar::all(KF.measurementNoiseCov.at<float>(0)));

    // generate measurement
    //帶噪聲的測量
    measurement += KF.measurementMatrix*state;
   // measurement += KF.measurementMatrix*prediction;

    double measAngle = measurement.at<float>(0);
    Point measPt = calcPoint(center, R, measAngle);

    // plot points
    //這個define語句是畫2條線段(線長很短)，其實就是畫一個“X”叉符號
    #define drawCross( center, color, d )                                 \
        line( img, Point( center.x - d, center.y - d ),                \
                     Point( center.x + d, center.y + d ), color, 1, CV_AA, 0); \
        line( img, Point( center.x + d, center.y - d ),                \
                     Point( center.x - d, center.y + d ), color, 1, CV_AA, 0 )

    img = Scalar::all(0);
    //狀態座標白色
    drawCross( statePt, Scalar(255,255,255), 3 );
    //測量座標藍色
    drawCross( measPt, Scalar(0,0,255), 3 );
    //預測座標綠色
    drawCross( predictPt, Scalar(0,255,0), 3 );
    //真實值和測量值之間用紅色線連線起來
    line( img, statePt, measPt, Scalar(0,0,255), 3, CV_AA, 0 );
    //真實值和估計值之間用黃色線連線起來
    line( img, statePt, predictPt, Scalar(0,255,255), 3, CV_AA, 0 );


    /*
      使用kalma步驟三
      呼叫kalman這個類的correct方法得到加入觀察值校正後的狀態變數值矩陣
    */
    //雖然該函式有返回值Mat，但是呼叫該函式校正後，其校正值已經儲存在KF的statePost
    //中了，corrected state (x(k)): x(k)=x'(k)+K(k)*(z(k)-H*x'(k))
    KF.correct(measurement);

    randn( processNoise, Scalar(0), Scalar::all(sqrt(KF.processNoiseCov.at<float>(0, 0))));
    //不加噪聲的話就是勻速圓周運動，加了點噪聲類似勻速圓周運動，因為噪聲的原因，運動方向可能會改變
    state = KF.transitionMatrix*state + processNoise;

    imwrite("../kalman/img.jpg", img);
    ui->textBrowser->clear();
    //ui->textBrowser->setFixedSize(img.cols, img.rows);
    u