PS：本文是在他人博文基礎上加以修改而來，將從 A^k(i,j) 推導 A^k-1(i,j) 改為從 A^k-1(i,j) 推導 A^k(i,j)，為的是符合自己的思維習慣，更好的理解floyd算法，並且方便以後檢視。

在此首先對原作者表示感謝！

下面進入正文

    floyd的程式碼實現其實很簡單：    

1. 
   void floyd()  
2. 
   {  
3. 
       for(k=0;k<n;k++)  
4. 
           for(i=0;i<n;i++)  
5. 
               for(j=0;j<n;j++)  
6. 
                   A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]);  
7. 
   }  

    floyd演算法是一個經典的動態規劃演算法，目標是尋找從點i到點j（圖中任意兩點）的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）。假設圖有n個頂點，依次為0,1,…,n-1，floyd演算法加入了這個概念

    A^k(i,j)：表示從頂點i到頂點j且中間頂點的序號不大於K的最短路徑。

    這個限制的重要之處在於，它將最短路徑的概念做了限制，使得該限制有機會滿足迭代關係，這個迭代關係就在於研究：假設A^k-1(i,j)已知，是否可以藉此推匯出A^k(i,j)。針對此問題，採用數學歸納法，我們分兩步解決：

   1、由A^k(i,j)的定義可得初始狀態（即中間不經過其他任何頂點）：A^-1(i,j) = cost(i,j)。（cost(i,j)為連線頂點i 和頂點j 的邊的權值，若兩頂點間無邊，則值為無窮大）

    2、假設此時A^k-1(i,j)已知，並且在此基礎上求解A^k(i,j)，那麼我們可以分兩種情況來看待這個問題：1. A^k(i,j)沿途經過點k；2. A^k(i,j)不經過點k。如果經過點k，那麼很顯然，A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)。為什麼是A^k-1呢？因為A^k-1是我們目前得到的最優解。那麼遇到第二種情況，A^k(i,j)不經過點k時，由於沒有經過點k，所以根據概念，可以得出A^k

    A^k(i,j) = min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) )

    到這裡，已經列出了求取A^k(i,j)的整個演算法了，但是，最終的目標是求dist(i,j)，即i到j的最短路徑，如何把A^k(i,j)轉換為dist(i,j)？這個其實很簡單，當k=n-1（n表示圖中頂點的個數）的時候，即是說，A^n-1(i,j)=dist(i,j)。那是因為當k已經最大時，已經不存在索引比k大的點了，那這時候的A^n-1(i,j)其實就已經是頂點i 到頂點j 的最短路徑了。

    從動態規劃演算法設計的角度來講，求解決策過程的最優化問題，首先應將待求解問題分解成若干個子問題，確定待求解問題與子問題的定量關係，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。而本文可看做求解定量關係部分（即由子問題出發，求解原問題）。

    個人總結：劃分的過程是從上往下，求解的過程是從下往上。