岡薩雷斯版<影象處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅立葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅立葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函式。

Fourier theory講的就是：任何信號（如影象訊號）都可以表示成一系列正弦訊號的疊加，在影象領域就是將影象brightness variation 作為正弦變數。比如下圖的正弦模式可在單傅立葉中由三個分量編碼：頻率f、幅值A、相位γ 這三個value可以描述正弦影象中的所有資訊。

1.frequency

frequency在空間域上可由亮度調節，例如左圖的frequency比右圖的frequency低……

2.幅值magnitude（amplitude）

sin函式的幅值用於描述對比度，或者說是影象中最明和最暗的峰值之間的差。（一個負幅值表示一個對比逆轉，即明暗交換。）

3.相位表示相對於原始波形，這個波形的偏移量（左or右）。

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一個傅立葉變換編碼是一系列正弦曲線的編碼，他們的頻率從0開始（即沒有調整，相位為0，平均亮度處），到尼奎斯特頻率（即數字影象中可被編碼的最高頻率，它和畫素大小、resolution有關）。傅立葉變換同時將影象中所有頻率進行編碼：一個只包含一個頻率f1的訊號在頻譜上橫座標f為f1的點處繪製一個單峰值，峰值高度等於對應的振幅amplitude，或者正弦曲線訊號的高度

DC term直流訊號對應於頻率為0的點，表示整幅影象的平均亮度，如果直流訊號DC=0就表示整幅影象平均亮度的畫素點個數=0，可推出 灰度圖中，正弦曲線在正負值之間交替變化，但是由於灰度圖中沒有負值，所以所有的真實影象都有一個正的DC term，如上圖所示。

出於某些數學分析原因，我們經常把傅立葉變換用mirror-image表示，在原點的的兩端，frequency都是增加的方向，具有相同的幅值。

上面講的都是一維訊號，一個二維傅立葉變換是一維傅立葉變換在每一個行掃描線和列掃描線上的傅立葉變換的疊加。

傅立葉譜圖上的每一個畫素點都代表一個頻率值，幅值由畫素點亮度變碼而得。最中心的亮點是指直流分量，傅立葉譜圖中越亮的點，對應於灰度圖中對比越強烈（對比度越大）的點。

這裡頻率比上面的小，相應的亮點比上副圖也集中。

影象傅立葉變換的物理意義

傅立葉提出任何周期函式都可以表示為不同頻率的正弦和/或餘弦和的形式，每個正弦和/或餘弦乘以不同的係數（傅立葉級數）。影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度.在噪聲點和影象邊緣處的頻率為高頻。

傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式，傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為灰度分佈函式.

傅立葉變換以前，影象（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的取樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則影象可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，影象是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關係就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察影象得知物體在三維空間中的對應關係。為什麼要提梯度？因為實際上對影象進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是影象梯度的分佈圖，當然頻譜圖上的各點與影象上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上影象上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，影象中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，影象的能量分佈，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.

影象是兩個引數的函式，通過一組正交函式的線性組合可以將其分解，而傅立葉就是通過諧波函式來分解的。而對於離散傅立葉變換，傅立葉變換的條件是存在的。

傅立葉變換進行影象處理有幾個特點

1. 直流成分F(0,0)等於影象的平均值；

2. 能量頻譜|F（u,v）|^2完全對稱於原點；其中F=PfQ, f表示原圖，P和Q都是對稱的實正交矩陣，這個公式表示傅立葉變換就是個正交矩陣的正交變換

3.影象f平移（a,b）後，F只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位變化，能量頻譜不發生變化。

4. 影象f自乘平均等於能量頻譜的總和，f的分散等於能量頻譜中除直流成分後的總和。

5.影象f(x,y)和g(x,y)的卷積h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅立葉變換H（u，v）等於f(x,y)和g(x,y)各自的傅立葉變換的乘積。

影象中的每個點通過傅立葉變換都成了諧波函式的組合，也就有了頻率，這個頻率則是在這一點上所有產生這個灰度的頻率之和，也就是說傅立葉變換可以將這些頻率分開來。當想除去影象背景時，只要去掉背景的頻率就可以了。

在進行傅立葉變換時，實際上在某一特定的頻率下，計算每個影象位置上的乘積。什麼乘積呢，就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)]，然後計算下一個頻率。這樣就得到了頻率函式。

也就是說，我們看到傅立葉變換的每一項（對每對頻率u,v，F(u，v)的值）是由f(x)函式所有值的和組成。f(x)的值與各種頻率的正弦值和餘弦值相乘。因此，頻率u, v決定了變換的頻率成分（x, y也作用於頻率，但是它們相加，對頻率有相同的貢獻）。

通常在進行傅立葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的影象函式，這樣就可以將傅立葉變換的原點F(0,0)移到(M/2,N/2)上。

每個F(u,v)項包含了被指數修正的f(x,y)的所有值，因而一般不可能建立影象特定分量和其變換之間的聯絡。然而，一般文獻通常會有關於傅立葉變換的頻率分量和影象空間特徵之間聯絡的闡述。變換最慢的頻率成分（u=v=0）對應一幅影象的平均灰度級。當從變換的原點移開時，低頻對應著影象的慢變換分量，較高的頻率開始對應影象中變化越來越快的灰度級。這些事物體的邊緣和由灰度級的突發改變（如噪聲）標誌的影象成分。

在頻率域中的濾波基礎

1. （-1）^(x+y)乘以輸入影象來進行中心變換

2. 由（1）計算影象的DFT， 即F（u,v）

3. 用濾波器函式H(u,v)乘以F（u,v）

4. 計算（3）中的結果的反DFT

5. 得到（4）中的結果的實部

6. 用(-1)^(x+y)乘以（5）中的結果

另外我還想說明以下幾點：

1、影象經過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分佈在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼影象訊號能量將集中在係數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明一幅影象能量集中低頻區域。
2 、變換之後的影象在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）