高斯分佈的一些理解

阿新 • • 發佈：2019-01-01

轉自：http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591

正態分佈（Normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：X∼N(μ,σ²),

則其概率密度函式為：

正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準正態分佈是μ = 0,σ = 1的正態分佈。

正態分佈的定義

有幾種不同的方法用來說明一個隨機變數。最直觀的方法是概率密度函式，這種方法能夠表示隨機變數每個取值有多大的可能性。累積分佈函式是一種概率上更加清楚的方法，但是非專業人士看起來不直觀（請看下邊的例子）。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函式、動差生成函式以及cumulant-生成函式。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於概率分佈的討論。

概率密度函式

正態分佈的概率密度函式均值為μ 方差為σ² (或標準差σ)是高斯函式的一個例項：

下邊是給出了不同引數的正態分佈的函式圖：

正態分佈中一些值得注意的量：

密度函式關於平均值對稱

平均值是它的眾數（statistical mode）以及中位數（median）
函式曲線下68.268949%的面積在平均值左右的一個標準差範圍內
95.449974%的面積在平均值左右兩個標準差2σ的範圍內
99.730020%的面積在平均值左右三個標準差3σ的範圍內
99.993666%的面積在平均值左右四個標準差4σ的範圍內
反曲點（inflection point）在離平均值的距離為標準差之處

累積分佈函式

累積分佈函式是指隨機變數X小於或等於x的概率，用密度函式表示為

正態分佈的累積分佈函式能夠由一個叫做誤差函式的特殊函式表示：

正態分佈的一些性質

1、如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2) \,$ 且a與b是實數，那麼aX+b ∼N(aμ+b,(aσ)²)

2、如果 $X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$ 與 $Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ 是統計獨立的正態分佈隨機變數，那麼：

它們的和也滿足正態分佈 $U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$
它們的差也滿足正態分佈 $V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$
U和V兩者是相互獨立的。

3、如果 $X \sim N(0, \sigma^2_X)$ 和 $Y \sim N(0, \sigma^2_Y)$ 是獨立正態隨機變數，那麼：

它們的積XY服從概率密度函式為p的分佈

$p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),$ 其中K0是貝塞爾函式（modified Bessel function）

它們的比符合柯西分佈，滿足X / Y∼Cauchy(0,σX / σY)。

4、 $X_1, \cdots, X_n$ 為獨立標準正態隨機變數，那麼 $X_1^2 + \cdots + X_n^2$ 服從自由度為n的卡方分佈。

相關分佈：

R∼Rayleigh(σ)是瑞利分佈，如果 $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ ，這裡X∼N(0,σ2)和Y∼N(0,σ2)是兩個獨立正態分佈。
$Y \sim \chi_{\nu}^2$ 是卡方分佈具有ν自由度，如果 $Y = \sum_{k=1}^{\nu} X_k^2$ 這裡Xk∼N(0,1)其中 $k=1,\dots,\nu$ 是獨立的。
Y∼Cauchy(μ = 0,θ = 1)是柯西分佈，如果Y = X1 / X2，其中X1∼N(0,1)並且X2∼N(0,1)是兩個獨立的正態分佈。
Y∼Log-N(μ,σ2)是對數正態分佈如果Y = eX並且X∼N(μ,σ2).
與Lévy skew alpha-stable分佈相關：如果 $X\sim \textrm{Levy-S}\alpha\textrm{S}(2,\beta,\sigma/\sqrt{2},\mu)$ 因而 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ .
截斷正態分佈.如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2),\!$ ，在A以下和B以上擷取X 將產生一個平均值 $E(X)=\mu + \frac{\sigma(\varphi_1-\varphi_2)}{T},\!$ 這裡 $T=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right), \; \varphi_1 = \varphi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right), \; \varphi_2 = \varphi\left(\frac{B-\mu}{\sigma}\right)$ ，φ是一個標準正態隨機變數的密度函式
如果X是一個正態分佈的隨機變數, Y = | X | ，那麼Y具有摺疊正態分佈.