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梯度下降（導數、方向導數 and 梯度）

阿新 • • 發佈：2019-01-01

梯度下降（導數、方向導數 and 梯度

  • 引入

    在機器學習與深度學習中，對損失函式最小化時經常使用的演算法就是梯度下降。當然還有很多優化演算法，本文先對梯度下降與反向傳播進行介紹。

  • 斜率、導數 and 梯度

    在介紹梯度下降之前，首先來明確梯度的概念，以及它與斜率、導數之間的區別。

    1. 斜率、導數

      斜率我們從小學就開始接觸，對於一元方程 y = k x + b

      y=kx+b 來講，斜率就是方程影象與 x 軸夾角的正切值，也等於導數值，且各點導數值相等。

      k = tan ⁡

      θ = y 1 − y 2 x 1 − x 2 = △ y △ x k=\tanθ=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\triangle y}{\triangle x}

      導數是微積分中的重要基礎概念，它體現了函式影象在各點變化的快慢程度，也就是在各點切線的斜率（實際上是在某點附近的斜率近似）。

      f ′ ( x ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x = △ x → 0 lim ⁡ △ y △ x f'(x)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{\triangle y}{\triangle x}

      斜率與導數都是有方向的，當大於 0 時，表示函式值沿 x 軸正方向是增加的；當大於 0 時，表示函式值沿 x 軸正方向是減小的。

    2. 偏導數

      偏導數與導數的本質是一致的，都是當自變數的變化量趨於 0 時，函式值的變化量與自變數變化量比值的極限。直觀地說，偏導數也就是函式在某一點上沿 對應座標軸正方向 的的變化率。區別在於導數面向的是一元函式，偏導數面向的是多元函式。

      假設有函式 f ( x 1 , x 2 ) f(x_1,x_2) ，則其對於 x 1 , x 2 x_1,x_2 偏導數為：

      ∂ ∂ x 1 f ( x 1 , x 2 ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x 1 + △ x ， x 2 ) △ x \frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1+\triangle x，x_2)}{\triangle x}

      ∂ ∂ x x f ( x 1 , x 2 ) = △ x → 0 lim ⁡ f ( x 1 ， x 2 + △ x ) △ x \frac{\partial}{\partial x_x}f(x_1,x_2)=\mathop{}_{\triangle x→ 0}^{\lim}\frac{f(x_1，x_2+\triangle x)}{\triangle x}

    3. 方向導數

      偏導數是關於各座標軸的導數，而對於多元函式上的一個點來講，它可以有無數個偏導數，並不是只有沿著座標軸的有限個方向。就像一個人站在一個球場的中心，除了沿著球場的寬與長的兩個方向可以走以外，周身 360° 都是可以面衝的方向，那麼對於這無數個方向來講的導數，就稱為方向導數。
      方向導數
      （中間紅色點為出發點，藍色為各種可以選擇的方向。向上與向右的為沿著座標軸 x，y 的方向。）

      如果說偏導數是函式在各座標軸方向上的導數，那麼方向導數就是函式在任意方向上的導數，是所有偏導數的集合（例如：沿 x 方向走 2 步，y 方向走 5 步，此時最終走的方向就是由 （0,0）點 指向 （2， 5）的向量做表示的方向，可以被各偏導數的線性線性表示）。

      具體的，方向導數的表示式為： D f ( x 1 , x 2 ) = ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 cos ⁡ θ + ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 sin ⁡ θ D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ

    4. 梯度

      有了以上的鋪墊，那麼梯度就很好理解了。

      ∙ \bullet 梯度的提出只為回答一個問題： 函式在變數空間的某一點處，沿著哪一個方向有最大的變化率？

      ∙ \bullet 梯度定義如為：函式在某一點的梯度是這樣一個 向量，它的方向是在所有方向導數中，最大的方向導數的方向，它的模為方向導數的最大值。

      ∙ \bullet 也可以這麼理解：梯度即函式在某一點最大的方向導數，沿梯度方向，函式具有最大的變化率。

      那麼為什麼梯度是方向導數中最大的呢？

      因為 D f ( x 1 , x 2 ) = ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 1 cos ⁡ θ + ∂ f ( x 1 , x 2 ) x 2 sin ⁡ θ D_{f(x_1,x_2)}=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_1}\cosθ+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{x_2}\sinθ

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