問題描述：

假定我們知道sering公司出售一段長度為I英寸的鋼條的價格為pi(i=1,2,3….)鋼條長度為整英寸如圖給出價格表的描述

長度i	1	2	4	5	6	7	8	9
價格p[i]	1	5	9	10	17	17	20	24

這個題不說什麼遞迴演算法複雜度有多高的什麼的問題了，就直接說一下動態規劃，首先我們這樣想這個題，就是把長度為i英寸的鋼條切割，首先切一刀會切成兩部分，或者不切。現在就比較這兩種情況哪種的收益高（切或者不切），如果不切收益高，那麼結果直接就是不切的收益，如果切成兩部分，那麼這兩部分又可以看成是有兩個不同長度的鋼條，每一個鋼條接著按這個方法討論。這種方法其實就是動態規劃的自底向上法。這種方法一般需要且當定義子問題“規模”的概念，是的任何子問題的求解都只依賴於“更小的”自問題的求解。因而我們可以將子問題按規模排序，按由小到大的順序進行求解。當求某個子問題時，它所依賴的哪些更小的子問題都已經求解完畢，結果已經儲存。每個子問題鬥智求解一次，當我們求解它時，它的所有前提子問題都以求解完成。下面先給出這個題的程式碼，然後再做詳細解釋：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int  p[10010];
int  r[10010];
int  s[10010];
int n;

int bottom_up_cut_rod(int p[],int n)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)    r[i]=0;
	int q;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		q=-inf;
		for(int i=1;i<=j;i++)
		{
			if(q<p[i]+r[j-i])
			{
				q=p[i]+r[j-i];
				s[j]=i;
			}
		}
		r[j]=q;
	}
	return r[n];
}

int print_cut(int p[],int n,int s[])
{
		while(n>0)
		{
			printf("%d  ",s[n]);
			n=n-s[n];
		}
		cout<<endl;
}

int main()
{
	int num;
	cout<<"請輸入鋼條收益"<<endl;
	cin>>num;
	for(int i=1;i<=num;i++)    scanf("%d",&p[i]);
	cout<<"請輸入鋼條長度:\n"<<endl;
	while(~scanf("%d",&n))
			{
			cout<<"最大收益是："<<bottom_up_cut_rod(p,n)<<endl;
			cout<<"切割方案為： ";
			print_cut(p,n,s);
			cout<<endl;
			cout<<"請輸入鋼條長度：\n"<<endl;
			}
	return 0;
}

 

  主函式的一些輸入輸出只是一個形式就不詳細說了，重點說一下int bottom_up_cut_rod(int p[],int n)這個函式，這個函式有兩個引數，一個是價格表p和鋼條長度，然後這個函式就是把每一個長度都從i 到n都作出一個最優收益值，就如j從1開始，列出最優收益值放在陣列r【】中，然後如果j等於7需要分割的時候會自動讀取出前面的最優收益值。然後把最大收益值的切割的第一段鋼條長度儲存在在另一個數組s[]中，函式print_cut(int p[],int n,int s[])的實現就是總長度減去第一段鋼條長度，然後接著判斷剩下的長度是否滿足條件，最後將切割方案輸出.在這舉個例子，如果輸入的n是7的話，首先從1到7算出了其對應的最優切割方案，然後將切割方案輸出的時候，首先會輸出s[7]，這個時候s[7]=1,首先會把1打印出來，接著n=n-s[7]=6,滿足n>0。然後打印出s[6],這個時候s[6]=6(因為6的最優切割方案就是不切割)，此時n=0不滿足條件了，所以結果輸出程式結束。

最後附上演算法導論15.1-3加固定成本的問題解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int  p[10010];
int  r[10010];
int  s[10010];
int n;

int bottom_up_cut_rod(int p[],int n,int c)
{
	for(int i=0;i<=n;i++)    r[i]=0;
	int q;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		q=-inf;
		for(int i=1;i<=j;i++)
		{
			if(q<(p[i]+r[j-i]-c*(j!=i)))
			{
				q=(p[i]+r[j-i]-c*(j!=i));
				s[j]=i;
			}
		}
		r[j]=q;
	}
	return r[n];
}

int print_cut(int p[],int n,int s[])
{
		while(n>0)
		{
			printf("%d  ",s[n]);
			n=n-s[n];
		}
		cout<<endl;
}

int main()
{
	int num,c;
	cout<<"請輸入鋼條收益"<<endl;
	cin>>num;
	for(int i=1;i<=num;i++)    scanf("%d",&p[i]);
	cin>>c;
	cout<<"請輸入鋼條長度:\n"<<endl;
	while(~scanf("%d",&n))
			{
			cout<<"最大收益是："<<bottom_up_cut_rod(p,n,c)<<endl;
			cout<<"切割方案為： ";
			print_cut(p,n,s);
			cout<<endl;
			cout<<"請輸入鋼條長度：\n"<<endl;
			}
	return 0;
}