一、題目

鋼條切割問題 是《演算法導論》一書中介紹動態規劃時的一道引題。即：

某公司購買長鋼條，將其切割為短鋼條出售。假設切割工序沒有成本支出，已知長度為 i 的鋼條出售價格為 p_i ，鋼條長度均為整數，公司管理希望知道最佳的切割方案。

價格表樣例：

現給定長鋼條的長度 n ，以及長度 i 的鋼條售價為 p_i，求鋼條切割方案，使得收益最大。

二、分析

首先最容易想到的一種解法就是，將長度為 n 的鋼條的切割方案全部羅列出來，然後取出其中一個收益最大的方案返回。

但是，對於長度為 n 的鋼條，將會有 2^n-1

動態規劃 是典型的使用空間換取時間的一種方法，通過先求解子問題，最終解決問題。

例如，我們先求解出長度為 1 時的最優解，並將結果儲存起來；再求解長度為 2 時的最優解，並將結果儲存起來；……；最終求得長度為 n 時的最優解返回。在求解長度為 i 時的最優解時，我們需要依次比較長度為 k(1<k<i) 的最優解加上長度為 i-k 的最優解的和，最終選擇一個最大值作為長度為 i 時的最優解並儲存起來。 最終進行到 n 時，由於前面的最優解都已經得到了，所以我們也很容易得到 n 時的最優解。

三、解答

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        int[] p = new int[] { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 }; // 長度為陣列索引值，所對應的價值
        int[][] result = cutRob(p, 10);
        System.out.print("i:\t");
        for (int i = 0; i <= 10; i++) {
            System.out.print(
 
i + "\t");
        }
        System.out.print("\nr[i]:\t");
        for (int i = 0; i < result[0].length; i++) {
            System.out.print(result[0][i] + "\t");
        }
        System.out.print("\ns[i]:\t");
        for (int i = 0; i < result[0].length; i++) {
            System.out.print(result[1][i] + "\t");
        }     
    }

    public static int[][] cutRob(int[] p, int n) {
        // result[0] 用來儲存不同長度 n 時的最大價值
        // result[1] 用來儲存不同長度 n 時的最大價值方案，第一段切割的長度
        int[][] result = new int[2][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            int index = 1;
            while (index <= i && index < p.length) {
                int current = p[index] + result[0][i - index];
                if (current > max) {
                    max = current;
                    result[1][i] = index;
                }
                index++;
            }
            result[0][i] = max;
        }
        return result;
    }

}

執行結果：

我們使用 i 表示鋼條的長度，用 r[i] 表示長度為 i 的鋼條對應的最大價值，用 s[i] 表示最大價值的方案，切割的第一段鋼條的長度，那麼結果為

這裡可以看到，假設長度為 9 的鋼條的最佳切割方案即是： 第一段切割長度 3，價值 8；切割後長度為 6，切割長度還是 6，價值為 17。最終切割方案為一段 3，一段 6，最大價值為 8 + 17 = 25。