1. 鋼條切割問題：一段長為 n 的鋼條和一個價格表 pi (i=1,2,3,4,...,n)，求切割方案，使得銷售收益 Rn 最大。

長度為 n 的鋼條有 2^(n-1) 種切割方案（因為在距離鋼條左端i(i=1,2,,3,...,n-1)處，我們總是可以選擇切割或者不切割）

設一個最優切割方案將鋼條切為 k （1≤k≤n）段，最優切割方案為：n = i1 + i2 + i3 +...+ ik

切割的長度分別為：i1、i2 、i3 、...、ik，得到的最大收益：Rn = pi1  +  pi2  +  pi3  +...+  pik

2. 問題分析

    首先可以將鋼條分割為 i 和 n-i 兩段，求這兩段的最優收益 Ri 和 R(n-i) （每種方案的最優收益為兩段的最優收益之和）。由於無法確定哪種方案（i 取何值時）會獲得最優收益，我們必須考慮所有的i，選取其中收益最大者。若直接出售鋼條會獲得最大收益，可以選擇不做任何切割。最優切割收益公式：Rn = max(pn,R1+Rn-1,R2+Rn-2,...,Rn-1+R1)。當完成首次切割後，我們可以將兩段鋼條（ i

    一種相似但更為簡單的遞迴求解方法：將長度為 n 的鋼條分解為左邊開始一段，以及剩餘部分繼續分解的結果。簡化後的公式：Rn = max{1≤i≤n, (pi+Rn-i)}

3. 程式設計

方法1：自頂向下遞迴實現

缺點：輸入規模大時，程式執行時間會變得相當長

原因：反覆求解相同的子問題

#  自頂向下遞迴演算法實現
#  R[n] = max{1≤i≤n, (pi+R[n-i])}          時間複雜度為：2^n(指數函式)
def CutRod(p, n):  # 函式返回：切割長度為 n 的鋼條所得的最大收益
    if n == 0:
        return 0
    q = -1
    for i in range(1, n+1):
        q = max(q, p[i] + CutRod(p, n-i))
        '''
        tmp = p[i] + CutRod(p, n-i)
        if q < tmp:
            q = tmp
        '''
    return q
p=[0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30]   # 價格表，下標為對應的鋼條長度，如當鋼條長度為0時，p=0,即p[0]=0，p[2]=5
print("最大收益為：",CutRod(p,4))  #  最大收益為： 10
 

 假如 n=4時，求解函式用C(4)表示，下圖為 n=4 時 函式的遞迴展開，其中被淺綠色和黃色虛線方框圈住的部分為重複的部分。其中共有2^n個結點，2^(n-1)葉節點，程式時間複雜度為2^n（指數時間複雜度）

方法2：帶備忘錄的自頂向下遞迴

特點：對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來（隨後再次遇到此問題的解，只需查詢儲存的結果，不必重新計算），用記憶體空間來節省計算時間。

# 帶備忘錄的自頂向下法 -- 每個子問題只求解一次，並將之存放在陣列 r 中，以備用
def MemorizedCutRod(p, n):
    r=[-1]*(n+1)                          #  陣列初始化
    def MemorizedCutRodAux(p, n, r):
        if r[n] >= 0:
            return r[n]
        q = -1
        if n == 0:
            q = 0
        else:
            for i in range(1, n + 1):
                q = max(q, p[i] + MemorizedCutRodAux(p, n - i, r))
        r[n] = q
        return q
    return MemorizedCutRodAux(p, n, r),r
print("最大收益為：",MemorizedCutRod(p, 5))  # 最大收益為： (13, [0, 1, 5, 8, 10, 13])

方法3：自底向上法（動態規劃）

特點：任何子問題的求解都依賴於 更小子問題 的求解。對子問題規模進行排序，按由小到大的問題進行求解。當求解某個子問題時，他所依賴的更小的子問題都已求解完畢，結果已經儲存。

優點：時間複雜度在三種方法中最好

# 自底向上
def BottomUpCutRod(p, n):
    r = [0]*(n+1)
    for i in range(1, n+1):
        if n == 0:
            return 0
        q =0
        for j in range(1, i+1):
            q = max(q, p[j]+r[i-j])
            r[i] = q
    return r[n],r
p=[0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30]
print(BottomUpCutRod(p, 10))   #  (30, [0, 1, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 22, 25, 30])