解題關鍵：

理解結構特徵，抽象出狀態，寫成狀態轉移方程。

題目索引

1.三角形找一條從頂到底的最小路徑

分析

設狀態為 f (i; j )，表示從從位置 (i; j ) 出發，路徑的最小和，則狀態轉移方程為

f(i,j)=min{f(i+1,j),f(i+1,j+1)}+(i,j)

2.最大子陣列和

設狀態為 f[j]，表示以 S[j] 結尾的最大連續子序列和，狀態轉移方程如下：

f=max(f+A[i],A[i]);//對於數組裡的一個整數，它只有兩種 選擇：1、加入之前的 SubArray；2. 自己另起一個 SubArray。

maxsum=max(maxsum,f);// 

求字串中最大的

3.迴文最小劃分次數

對輸入的字串劃分為一組迴文字串,最小的分割次數

所以要轉換成一維 DP。如果每次，從 i 往右掃描，每找到一個迴文就算一次 DP 的話，就可以

轉換為 f(i)= 區間 [i, n-1] 之間最小的 cut 數，n 為字串長度，則狀態轉移方程為

 

4.最佳時間買賣股票

設狀態f(i)表示區間[0,i-1]上的最大利潤,設定狀態g(i)，表示區間[i,n-1]上最大利潤。

則最大利潤為max{f(i)+g(i)};允許在一天內買進又賣出，相當於不交易，因為題目的規定是最多兩次，而不是一定要兩次

5.判斷字串s3是否由s1,s2交叉存取組成

設狀態 f[i][j]，表示 s1[0,i] 和 s2[0,j]，匹配 s3[0, i+j]。如果 s1 的最後一個字元等於 s3 的最後一個字元，則

 f[i][j]=f[i-1][j]；

如果 s2 的最後一個字元等於 s3 的最後一個字元，則

f[i][j]=f[i][j-1]。

因此狀態轉移方程如下：

f[i][j] = (s1[i - 1] == s3 [i + j - 1] && f[i - 1][j]) || (s2[j - 1] == s3 [i + j - 1] && f[i][j - 1]);

6.給定一個矩形表格，求從頂到底的最小和

Minimum Path Sum

設狀態為 f[i][j]，表示從起點 (0; 0) 到達 (i; j ) 的最小路徑和，則狀態轉移方程為：

f[i][j]=min(f[i-1][j], f[i][j-1])+grid[i][j]

7.使兩個字串相等，最小的編輯次數

Edit Distance

設狀態為 f[i][j]，表示 A[0,i] 和 B[0,j] 之間的最小編輯距離。設 A[0,i] 的形式是

str1c，B[0,j] 的形式是 str2d，

1. 如果 c==d，則 f[i][j]=f[i-1][j-1]；

2. 如果 c!=d，

(a) 如果將 c 替換成 d，則 f[i][j]=f[i-1][j-1]+1；

(b) 如果在 c 後面新增一個 d，則 f[i][j]=f[i][j-1]+1；

(c) 如果將 c 刪除，則 f[i][j]=f[i-1][j]+1；

8.給定一串數字，1對應A，2對應B,26對應Z，求有多少種解碼方式

Decode Ways

和爬樓梯問題一樣,

設 f (n) 表示爬 n 階樓梯的不同方法數，為了爬到第 n 階樓梯，有兩個選擇：

• 從第 n-1 階前進 1 步；

• 從第 n-2 階前進 2 步；

因此，有 f (n) = f (n-1) + f (n-2)。這是一個斐波那契數列。

9.不同的子序列Distinct Subsequences

給定2個字串a, b，求b在a中出現的次數。要求可以是不連續的，但是b在a中的順序必須和b以前的一致。

Here is an example: S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

類似於數字分解的題目。dp[i][j]表示：b的前j個字元在a的前i個字元中出現的次數。

如果S[i]==T[j]，那麼dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。

意思是：如果當前S[i]==T[j]，那麼當前這個字母即可以保留也可以拋棄，所以變換方法等於保留這個字母的變換方法加上不用這個字母的變換方法。如果S[i]!=T[i]，那麼dp[i][j] = dp[i-1][j]，

意思是如果當前字元不等，那麼就只能拋棄當前這個字元

遞迴公式中用到的dp[0][0] = 1，dp[i][0] = 0（把任意一個字串變換為一個空串只有一個方法

10.單詞分解Word Break

字串是否可以分解為給定的單詞

For example, given

s = "leetcode",

dict = ["leet", "code"].

dp[i]  表示源串的前i個字元可以滿足分割，那麼 dp[ j ] 滿足分割的條件是存在k 使得 dp [k] && substr[k,j]在字典裡。

真題：

1.Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

分析 設狀態為 f (i; j )，表示從從位置 (i; j ) 出發，路徑的最小和，則狀態轉移方程為 f(i,j)=min{f(i+1,j),f(i+1,j+1)}+(i,j) 程式碼 // LeetCode, Triangle // 時間複雜度 O(n^2)，空間複雜度 O(1) class Solution { public: int minimumTotal (vector<vector<int>>& triangle)  {     for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; --i)     {         for (int j = 0; j < i + 1; ++j)             triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);      }     return triangle [0][0];  }; 2.Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

自己最初想法： 需找最大字串的起點和終點。不是特別好解 分析： 答案：把原字串分成很多不同的字串，然後求出字串中最大的。
把原字串分成很多不同的字串，通過max(f+A[i],A[i])就可以搞定，如果之前的對我沒貢獻，還不如另起一個字串

設狀態為 f[j]，表示以 S[j] 結尾的最大連續子序列和，狀態轉移方程如下：

f=max(f+A[i],A[i]);//對於數組裡的一個整數，它只有兩種 選擇：1、加入之前的 SubArray；2. 自己另起一個 SubArray。

maxsum=max(maxsum,f);// 求字串中最大的

程式碼：

class Solution {

public:

    int maxSubArray(int A[], int n) {

        if(0==n) return 0;

        int f=0;//f[j]，表示以 A[j] 結尾的最大連續子序列和

        int maxsum=A[0];

        for(int i=0;i<n;++i)

        {

            f=max(f+A[i],A[i]);//是否需要另起一個字串,如果之前的對我沒貢獻，還不如另起一個字串。

            maxsum=max(maxsum,f); //字串中最大的

        }

        return maxsum;

    }

};

3.Palindrome Partitioning II

Given a string s, partition s such that every substring of the partition is a palindrome.

Return the minimum cuts needed for a palindrome partitioning of s.

For example, given s = "aab",
Return 1 since the palindrome partitioning ["aa","b"] could be produced using 1 cut.

題意分析： 對輸入的字串劃分為一組迴文字串,最小的分割次數

分析

定義狀態 f(i,j) 表示區間 [i,j] 之間最小的 cut 數，則狀態轉移方程為

這是一個二維函式，實際寫程式碼比較麻煩。

所以要轉換成一維 DP。如果每次，從 i 往右掃描，每找到一個迴文就算一次 DP 的話，就可以

轉換為 f(i)= 區間 [i, n-1] 之間最小的 cut 數，n 為字串長度，則狀態轉移方程為

一個問題出現了，就是如何判斷 [i,j] 是否是迴文？每次都從 i 到 j 比較一遍？太浪費了，這 裡也是一個 DP 問題。 

定義狀態 P[i][j] = true if [i,j] 為迴文，那麼

P[i][j] = str[i] == str[j] && P[i+1][j-1]

程式碼

// LeetCode, Palindrome Partitioning II

// 時間複雜度 O(n^2)，空間複雜度 O(n^2)

class Solution {

public:

  int minCut(string s)

 {

    const int n = s.size();

    int f[n+1];

    bool p[n][n];

    fill_n(&p[0][0], n * n, false);

//the worst case is cutting by each char

    for (int i = 0; i <= n; i++)

            f[i] = n - 1 - i; // 最後一個 f[n]=-1

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)

    {

        for (int j = i; j < n; j++)

         {

            if (s[i] == s[j] && (j - i < 2 || p[i + 1][j - 1])) 

            { 

                    p[i][j] = true;

                    f[i] = min(f[i], f[j + 1] + 1);

           }

        }

    }

    return f[0];

}

}

4.Maximal Rectangle

描述

Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest rectangle containing all ones and return

its area.

題目就是給一個矩陣，找一個全是一的最大子矩陣。

5.Best Time to Buy and Sell Stock III

Say you have an array for which the i^th element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

分析：

設狀態f(i)表示區間[0,i-1]上的最大利潤,設定狀態g(i)，表示區間[i,n-1]上最大利潤。

則最大利潤為max{f(i)+g(i)};允許在一天內買進又賣出，相當於不交易，因為題目的規定是最多兩次，而不是一定要兩次。

程式碼

// LeetCode, Best Time to Buy and Sell Stock III

// 時間複雜度 O(n)，空間複雜度 O(n)

class Solution {

public:

int maxProfit(vector<int>& prices)

 {

    if (prices.size() < 2) return 0;

    const int n = prices.size();

    vector<int> f(n, 0);

    vector<int> g(n, 0);

    for (int i = 1, valley = prices[0]; i < n; ++i) {

        valley = min(valley, prices[i]);

        f[i] = max(f[i - 1], prices[i] - valley);

    }

    for (int i = n - 2, peak = prices[n - 1]; i >= 0; --i) {

        peak = max(peak, prices[i]);

        g[i] = max(g[i], peak - prices[i]);

    }

    int max_profit = 0;

    for (int i = 0; i < n; ++i)

        max_profit = max(max_profit, f[i] + g[i]);

    return max_profit;

    }

};

6.Interleaving String

Given s1, s2, s3, find whether s3 is formed by the interleaving of s1 and s2.

For example,
Given:
s1 = "aabcc",
s2 = "dbbca",

When s3 = "aadbbcbcac", return true.
When s3 = "aadbbbaccc", return false.

分析：判斷字串s3是否由s1,s2交叉存取組成

設狀態 f[i][j]，表示 s1[0,i] 和 s2[0,j]，匹配 s3[0, i+j]。如果 s1 的最後一個字元等 於 s3 的最後一個字元，則

 f[i][j]=f[i-1][j]；

如果 s2 的最後一個字元等於 s3 的最後一個字元， 則 

f[i][j]=f[i][j-1]。

因此狀態轉移方程如下： 

f[i][j] = (s1[i - 1] == s3 [i + j - 1] && f[i - 1][j]) || (s2[j - 1] == s3 [i + j - 1] && f[i][j - 1]);

1 class Solution {
 2 private:
 3     bool f[1000][1000];
 4 public:
 5     bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {
 6         // Start typing your C/C++ solution below
 7         // DO NOT write int main() function 
 8         if (s1.size() + s2.size() != s3.size())
 9             return false;
10             
11         f[0][0] = true;
12         for(int i = 1; i <= s1.size(); i++)
13             f[i][0] = f[i-1][0] && (s3[i-1] == s1[i-1]);
14             
15         for(int j = 1; j <= s2.size(); j++)
16             f[0][j] = f[0][j-1] && (s3[j-1] == s2[j-1]);
17             
18         for(int i = 1; i <= s1.size(); i++)
19             for(int j = 1; j <= s2.size(); j++)
20                 f[i][j] = (f[i][j-1] && s2[j-1] == s3[i+j-1]) || (f[i-1][j] && s1[i-1] == s3[i+j-1]);
21                 
22         return f[s1.size()][s2.size()];
23     }
24 };

動規 + 滾動陣列

// LeetCode, Interleaving String

// 二維動規 + 滾動陣列，時間複雜度 O(n^2)，空間複雜度 O(n)

class Solution {

public:

bool isInterleave(string s1, string s2, string s3)

 {

    if (s1.length() + s2.length() != s3.length())

        return false;

    if (s1.length() < s2.length())

        return isInterleave(s2, s1, s3);

    vector<bool> f(s2.length() + 1, true);

    for (size_t i = 1; i <= s2.length(); ++i)

        f[i] = s2[i - 1] == s3[i - 1] && f[i - 1];

    for (size_t i = 1; i <= s1.length(); ++i)

     {

        f[0] = s1[i - 1] == s3[i - 1] && f[0];

        for (size_t j = 1; j <= s2.length(); ++j)

            f[j] = (s1[i - 1] == s3[i + j - 1] && f[j]) || (s2[j - 1] == s3[i + j - 1] && f[j - 1]); 

    }

    return f[s2.length()];

}

};

7.Scramble String(混雜字串)

Given a string s1, we may represent it as a binary tree by partitioning it to two non-empty substrings recursively.

Below is one possible representation of s1 = "great":

    great
   /    \
  gr    eat
 / \    /  \
g   r  e   at
           / \
          a   t

To scramble the string, we may choose any 

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