（資料結構）第六章 圖
圖
直觀顯示圖結構的方法：用小圓圈或小方塊代表頂點，用連線於其間的直線段或者曲線弧表示對應的邊。
圖：無向圖、有向圖及混合圖
深度優先搜尋實質功能：先將當前節點v標記為DISCOVERED(已發現)狀態，再逐一核對其各鄰居u的狀態並做相應處理。待其所有鄰居均以處理完畢之後，將頂點v置為VISITED（訪問完畢）狀態，便可回溯。
深度優先搜尋
從圖的某個頂點出發，訪問圖中的所有頂點，且使每個頂點僅被訪問一次。這一過程叫做圖的遍歷。
深度優先搜尋的思想：
①訪問頂點v；
②依次從v的未被訪問的鄰接點出發，對圖進行深度優先遍歷；直至圖中和v有路徑相通的頂點都被訪問；
③若此時圖中尚有頂點未被訪問，則從一個未被訪問的頂點出發，重新進行深度優先遍歷，直到圖中所有頂點均被訪問過為止。
比如：
在這裡為了區分已經訪問過的節點和沒有訪問過的節點，我們引入一個一維陣列bool visited[MaxVnum]用來表示與下標對應的頂點是否被訪問過，
流程：
☐ 首先輸出 V1，標記V1的flag=true;
☐ 獲得V1的鄰接邊 [V2 V3],取出V2，標記V2的flag=true;
☐ 獲得V2的鄰接邊[V1 V4 V5],過濾掉已經flag的，取出V4，標記V4的flag=true;
☐ 獲得V4的鄰接邊[V2 V8],過濾掉已經flag的，取出V8，標記V8的flag=true;
☐ 獲得V8的鄰接邊[V4 V5],過濾掉已經flag的，取出V5，標記V5的flag=true;
☐ 此時發現V5的所有鄰接邊都已經被flag了，所以需要回溯。（左邊黑色虛線，回溯到V1，回溯就是下層遞迴結束往回返）
☐
☐ 回溯到V1，在前面取出的是V2，現在取出V3，標記V3的flag=true;
☐ 獲得V3的鄰接邊[V1 V6 V7]，過濾掉已經flag的,取出V6，標記V6的flag=true;
☐ 獲得V6的鄰接邊[V3 V7],過濾掉已經flag的,取出V7，標記V7的flag=true;
☐ 此時發現V7的所有鄰接邊都已經被flag了，所以需要回溯。（右邊黑色虛線，回溯到V1，回溯就是下層遞迴結束往回返）廣度優先搜尋
所謂廣度，就是一層一層的，向下遍歷，層層堵截，還是這幅圖，我們如果要是廣度優先遍歷的話，我們的結果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。
廣度優先搜尋的思想：
① 訪問頂點vi ；
② 訪問vi 的所有未被訪問的鄰接點w1 ,w2 , …wk ；
③ 依次從這些鄰接點（在步驟②中訪問的頂點）出發，訪問它們的所有未被訪問的鄰接點; 依此類推，直到圖中所有訪問過的頂點的鄰接點都被訪問；
說明：
為實現③，需要儲存在步驟②中訪問的頂點，而且訪問這些頂點的鄰接點的順序為：先儲存的頂點，其鄰接點先被訪問。 這裡我們就想到了用標準模板庫中的queue佇列來實現這種先進現出的服務。
老規矩我們還是走一邊流程：
說明：
☐將V1加入佇列，取出V1，並標記為true(即已經訪問)，將其鄰接點加進入佇列，則 <—[V2 V3]
☐取出V2，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[V3 V4 V5]
☐取出V3，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[V4 V5 V6 V7]
☐取出V4，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[V5 V6 V7 V8]
☐取出V5，並標記為true(即已經訪問)，因為其鄰接點已經加入佇列，則 <—[V6 V7 V8]
☐取出V6，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[V7 V8]
☐取出V7，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[V8]
☐取出V8，並標記為true(即已經訪問)，將其未訪問過的鄰接點加進入佇列，則 <—[]
拓撲排序
有向無環圖：頂點A和B互換之後依然是一個拓撲排序，所以同一有向圖的拓撲排序未必唯一。
不含環路的有向圖------有向無環圖一定存在拓撲結構嗎？答案是肯定的。
有向無環圖的拓撲結構一定存在。因為有向無環圖對應於偏序關係，而拓撲排序則對應於全序關係。
DFS搜尋善於檢測環路的特性，恰好可以用來判別輸入是否為有向無環圖。
在圖論中，拓撲排序（Topological Sorting）是一個有向無環圖（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有頂點的線性序列。且該序列必須滿足下面兩個條件：
第一，每個頂點出現且只出現一次。
第二，若存在一條從頂點 A 到頂點 B 的路徑，那麼在序列中頂點 A 出現在頂點 B 的前面。
有向無環圖（DAG）才有拓撲排序，非DAG圖沒有拓撲排序一說。
例如，下面這個圖：
它是一個 DAG 圖，那麼如何寫出它的拓撲排序呢？這裡說一種比較常用的方法：
第一，從 DAG 圖中選擇一個 沒有前驅（即入度為0）的頂點並輸出。
第二，從圖中刪除該頂點和所有以它為起點的有向邊。
第三，重複 1 和 2 直到當前的 DAG 圖為空或當前圖中不存在無前驅的頂點為止。後一種情況說明有向圖中必然存在環。
於是，得到拓撲排序後的結果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。
通常，一個有向無環圖可以有一個或多個拓撲排序序列。
二、拓撲排序的應用
拓撲排序通常用來“排序”具有依賴關係的任務。
比如，如果用一個DAG圖來表示一個工程，其中每個頂點表示工程中的一個任務，用有向邊<A,B>表示在做任務 B 之前必須先完成任務 A。故在這個工程中，任意兩個任務要麼具有確定的先後關係，要麼是沒有關係，絕對不存在互相矛盾的關係（即環路）。
三、拓撲排序的實現
根據上面講的方法，我們關鍵是要維護一個入度為0的頂點的集合。
圖的儲存方式有兩種：鄰接矩陣和鄰接表。這裡我們採用鄰接表來儲存圖，C++程式碼如下：
#include<iostream>
#include <list>
#include <queue>
using namespace std;
/************************類宣告************************/
class Graph
{
int V; // 頂點個數
list<int> *adj; // 鄰接表
queue<int> q; // 維護一個入度為0的頂點的集合
int* indegree; // 記錄每個頂點的入度
public:
Graph(int V); // 建構函式
~Graph(); // 解構函式
void addEdge(int v, int w); // 新增邊
bool topological_sort(); // 拓撲排序
};
/************************類定義************************/
Graph::Graph(int V)
{
this->V = V;
adj = new list<int>[V];
indegree = new int[V]; // 入度全部初始化為0
for(int i=0; i<V; ++i)
indegree[i] = 0;
}
Graph::~Graph()
{
delete [] adj;
delete [] indegree;
}
void Graph::addEdge(int v, int w)
{
adj[v].push_back(w);
++indegree[w];
}
bool Graph::topological_sort()
{
for(int i=0; i<V; ++i)
if(indegree[i] == 0)
q.push(i); // 將所有入度為0的頂點入隊
int count = 0; // 計數，記錄當前已經輸出的頂點數
while(!q.empty())
{
int v = q.front(); // 從佇列中取出一個頂點
q.pop();
cout << v << " "; // 輸出該頂點
++count;
// 將所有v指向的頂點的入度減1，並將入度減為0的頂點入棧
list<int>::iterator beg = adj[v].begin();
for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)
if(!(--indegree[*beg]))
q.push(*beg); // 若入度為0，則入棧
}
if(count < V)
return false; // 沒有輸出全部頂點，有向圖中有迴路
else
return true; // 拓撲排序成功
}測試如下DAG圖
int main()
{
Graph g(6); // 建立圖
g.addEdge(5, 2);
g.addEdge(5, 0);
g.addEdge(4, 0);
g.addEdge(4, 1);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 1);
g.topological_sort();
return 0;
}輸出結果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。這是該圖的拓撲排序序列之一。
每次在入度為0的集合中取頂點，並沒有特殊的取出規則，隨機取出也行，這裡使用的queue。取頂點的順序不同會得到不同的拓撲排序序列，當然前提是該圖存在多個拓撲排序序列。
由於輸出每個頂點的同時還要刪除以它為起點的邊，故上述拓撲排序的時間複雜度為O(V+E)。
雙連通域分解
可行演算法：DFS樹中的葉節點，絕不可能是原圖中的關節點。因為此類頂點的刪除既不影響DFS的連通性，也不影響原圖的連通性。DFS樹的根節點若至少擁有兩個分支，則必是一個關節點。
參考文獻；《Topological Sorting》