演算法之陣列中的逆序對
題目：在陣列中的兩個數字如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組，求出這個陣列中的逆序對的總數
例如在陣列｛7，5，6，4｝中，一共存在5對逆序對，分別是｛7，6｝，｛7，5｝，｛7，4｝，｛6，4｝，｛5，4｝。
看 到這個題目，我們的第一反應就是順序掃描整個陣列。每掃描到一個數組的時候，逐個比較該數字和它後面的數字的大小。如果後面的數字比它小，則這兩個數字就組成一個逆序對。假設陣列中含有n個數字。由於每個數字都要和O(n）個數字做比較，因此這個演算法的時間複雜度為O(n2)。我們嘗試找找更快的演算法。
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// 我們以陣列｛7，5，6，4｝為例來分析統計逆序對的過程，每次掃描到一個數字的時候，我們不能拿它和後面的每一個數字做比較，否則時間複雜度就是O(n2)因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。
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// 如下圖所示，我們先把陣列分解稱兩個長度為2的子陣列，再把這兩個子陣列分別茶城兩個長度為1的子陣列。接下來一邊合併相鄰的子陣列，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1的子陣列｛7｝，｛5｝中7大於5，因此｛7，5｝組成一個逆序對。同樣在第二對長度為1的子陣列｛6｝，｛4｝中也有逆序對｛6，4｝。由於我們已經統計了這兩隊子陣列內部逆序對，因此需要把這兩對子陣列排序，以免在以後的統計過程中再重複統計。
//接下來我們統計兩個長度為2的子陣列之間的逆序對。
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// 我們先用兩個指標分別指向兩個子陣列的末尾，並每次比較兩個指標指向的數字。如果第一個子陣列中的數字大於第二個子陣列中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子陣列中的剩餘數字的個數。如果第一個陣列中的數字小於或等於第二個陣列中的數字，則不構成逆序對。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從後往前複製到一個輔助陣列中去，確保輔助陣列中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到陣列之後，把對應的指標向前移動一位，接著來進行下一輪的比較。
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// 經過前面詳細的討論，我們可以總結出統計逆序對的過程：先把陣列分隔成子陣列，先統計出子陣列內部的逆序對的數目，然後再統計出兩個相鄰子陣列之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對陣列進行排序。如果對排序演算法很熟悉，我們不難發現這個排序的過程就是歸併排序。
public class InversePair {
static int count;
public static void main(String[] arr) {
int[] a = {};
int[] p = new int[a.length];
mergesort(a, 0, a.length - 1, p);
}
static void merge(int[] array, int low, int mid, int high, int[] temp) {
int i = low;
int m=mid;
int n=high;
int j = mid + 1;
int index = 0;
while (i <= m && j <= n) {
//左邊的陣列比右陣列大
if (array[i] > array[j]) {
temp[index++] = array[j++];
// 因為如果a[i]此時比右陣列的當前元素a[j]大，
// 那麼左陣列中a[i]後面的元素就都比a[j]大
// 【因為陣列此時是有序陣列】
count += mid - i + 1;
if (count > 1000000007)
{
count %= 1000000007;
}
} else {
temp[index++] = array[i++];
}
}
while (i <= m) {
temp[index++] = array[i++];
}
while (j <= n) {
temp[index++] = array[j++];
}
for (i = 0; i < index; i++) {
array[low + i] = temp[i];
}
}
static void mergesort(int[] a, int low, int high, int[] temp) {
if (low < high) {
int mid = (low + high) / 2;
//左邊有序
mergesort(a, low, mid, temp);
//右邊有序
mergesort(a, mid + 1, high, temp);
//再將兩個有序合併
merge(a, low, mid, high, temp);
}
}
}