樹狀陣列和逆序對
阿新 • • 發佈：2020-08-05
## 逆序對的概念
在一個有 $n$ 個元素的陣列 $A$ 中，如果存在 $1 \leqslant i A_j$ ，則稱 $$ 為 $A$ 的一個逆序對。我們熟知的排序其實就是一個消滅逆序對的過程。求一個數組的逆序對數目，我們可以用歸併排序，或者用我們今天的主角樹狀陣列，還不會樹狀陣列的同學可以看我之前的一篇學習筆記的部落格（[戳這裡](https://www.cnblogs.com/ailanxier/p/13419109.html)），很快就可以理解了。
## 樹狀陣列打逆序對
+ 洛谷 [P1908 逆序對](https://www.luogu.com.cn/problem/P1908)
+ 牛客 [NC15163 逆序數](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15163)
兩題都是求逆序對的模板題，洛谷資料被加強過，而且數字範圍更大，如果用**樹狀陣列做需要進行離散化操作**，而歸併排序不用，這也是歸併排序更快的原因。但是有的時候歸併排序不能維護一些區間資訊（見下一題）。
先來分析一下逆序對應該怎麼數。把逆序對的概念換一種更通俗的說法，逆序對其實就是由**一個數和之前比它大的數**組成。樸素的做法就是在每一個數插入的時候，遍歷它前面的每一個數，如果比它大答案就加一。這種做法顯然是 $O(n^2)$ 的，而 $n$ 的範圍是 $10^5$ 級別的，肯定衝不過去。為了把時間複雜度降到 $O(nlogn)$ 級別，我們需要使用線段樹和樹狀陣列來維護。線段樹在這裡就有點麻煩了，我們用更簡潔的樹狀陣列就可以了。每插入一個數，是單點修改；每查詢一個數之前比它大的數目，是區間查詢，可行！
樹狀陣列傳統程式碼，修改和查詢完全不變：
```cpp
#include >n;
For(i,1,n) cin> a;
void update(int now,int value){
while(now<=m){
t[now] += value;
now += lowbit(now);
}
}
ll query(int now){
ll an = 0;
while(now){
an += t[now];
now -= lowbit(now);
}
return an;
}
//__int128輸出
void print(lll x){
if(x == 0) return;
print(x/10);
int tem = x%10;
cout<>n;
For(i,1,n) cin>>num[i],a.push_back(num[i]);
sort(a.begin(),a.end());
a.erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end());
m = a.size();
lll ans = 0;
For(i,1,n) {
num[i] = lower_bound(a.begin(),a.end(),num[i])-a.begin()+1;
//計算比num[i]大的數的座標和
lll l = (query(m)-query(num[i]));
//右邊部分的區間長度
lll r = n-i+1;
ans += l*r;
//加入座標
update(num[i],i);
}
if(ans) print(ans);
else cout<<0;
return 0;
}
```
## 逆序對和排序問題
+ [P1966 火柴排隊](https://www.luogu.com.cn/problem/P1966)
+ [NC16526 火柴排隊](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16526)
### 題意概括
有兩列都是 $n$ 根的火柴，同一列高度互不相同，將兩列火柴直接的距離定義為 $\sum\left(a_{i}-b_{i}\right)^{2}$ 。其中 $a_i$ 表示第一列火柴中第 $i$ 個火柴的高度，$b_i$ 表示第二列火柴中第 $i$ 個火柴的高度。僅可以交換相鄰兩根火柴的位置，求要讓兩列火柴距離最小的最小交換次數，並對 $10^8-3$ 取模。資料滿足 $1 \leq n \leq 10^{5}, 0 \leq$ 火柴高度 $<2^{31}$ 。
### 分析
這道題看起來和逆序對好像沒有什麼關係，需要一些分析後才可以和逆序對聯絡起來。
首先我們要分析出什麼時候火柴距離最小。展開火柴距離的式子：
$$\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)^{2} \\\\
=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{2}-2 a_{i} b_{i}+b_{i}^{2}\right) \\\\
=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right)-\sum_{i=1}^{n}\left(2 a_{i} b_{i}\right)
\end{array}$$
因為所有火柴高度已經定下來了，即 $\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right)$ 大小不會隨著交換而改變。所以我們要**最大化** $\sum_{i=1}^{n}\left(2 a_{i} b_{i}\right)$ 才能使這個式子最小。根據排序不等式，我們知道**同序和 $\geqslant$ 亂序和 $\geqslant$ 逆序和**（證明可以自行百度，會用就行了）。所以我們要讓火柴排成“同序和”的順序即可。換句話說，假如我們僅交換 $b$ 列火柴（交換 $a$ 和 $b$ 是等效的，我們選一列交換，讓另一列不動就行）就是讓 $b$ 的第 $i$ 小與 $a$ 的第 $i$ 小懟齊。
這其實是一種排序，認識到這一點很重要。我們原來平時的排序，以升序為例，其實是把下標當做一個標準序列 $standard[~]=\{1,2,3,···,n\}$ ,然後把要排序的陣列 $num$ 按照 $standard$ 從小到大懟齊，也就是 $num$ 的第 $i$ 小與 $standard$ 的第 $i$ 小懟齊。而在只能進行相鄰交換的前提下，**最小的交換次數就是 $num$ 的逆序對數目**（可以自己感性證明一下）。現在我們把標準序列的定義**換成一個指示 $a$ 的第 $i$ 小的位置的陣列**，即 $a[~standard[i]~]$ 是 $a$ 的第 $i$ 小，要排序的陣列定義改為**指示 $b$ 的第 $i$ 小的位置的陣列** ,即 $b[~num[i]~]$ 是 $b$ 的第 $i$ 小。然後**新建一個序列 $q$,讓 $q[~standard[i]~] = num[i]$** ,即讓 $num[~]$ 按照 $standard[~]$ 進行“排序”，最終答案就是 $q$ 的逆序對數目。
這裡是比較難理解的，需要自己列幾個例子輔助思考。剩下部分其實就是求逆序對的模板。雖然資料範圍很大，但是我們用了一種特殊的離散化方式，將離散化陣列 $p_i$ 定義為 $a$ 或 $b$ 的第 $i$ 小的位置（也就是上文中的 $standard$ 和 $num$）。
**$Code:$**
```cpp
#include
using namespace std;
#define For(i,sta,en) for(int i = sta;i <= en;i++)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define speedUp_cin_cout ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+9;
const int mod = 1e8-3;
int a[maxn],b[maxn],q[maxn],pa[maxn],pb[maxn];
ll t[maxn],n;
void update(int now){
while(now <= n){
t[now]++;
now += lowbit(now);
}
}
ll query(int now){
ll an = 0;
while(now){
an = (an + t[now])%mod;
now -= lowbit(now);
}return an;
}
bool cmp1(int &x,int &y){
return a[x] < a[y];
}
bool cmp2(int &x,int &y){
return b[x] < b[y];
}
int main(){
speedUp_cin_cout //讀寫優化
cin>>n;
For(i,1,n) cin>>a[i],pa[i] = i; //pa，pb為離散化陣列
For(i,1,n) cin>>b[i],pb[i] = i;
sort(pa+1,pa+1+n,cmp1);
sort(pb+1,pb+1+n,cmp2);
For(i,1,n) q[pa[i]] = pb[i]; //新建序列
ll ans = 0;
//求q的逆序對
For(i,1,n){
ans = (((query(n) - query(q[i]))%mod + ans)%mod+mod)%mod;
update(q[i]);
}
cout<