基本思想：

歸併排序：就是利用歸併（合併）的思想實現的排序方法。它的原理是假設初始序列含有 n 個元素，則可以看成是 n 個有序的子序列，每個子序列的長度為 1，然後兩兩歸併，得到 ⌈ n / 2⌉ （⌈ x ⌉ 表示不小於 x 的最小整數）個長度為 2 或 1 的有序序列；再兩兩歸併，······，如此重複，直至得到一個長度為 n 的有序序列為止，這種排序方法就成為 2 路歸併排序。

一、歸併的過程：

a[i] 取 a 陣列的前部分（已經排好序），a[j] 取 a 陣列的後部分（已經排好序）
r 陣列儲存排好序的 a 陣列

比較 a[i]和 a[j] 的大小，若 a[i] ≤ a[j]，則將第一個有序表中的元素 a[i] 複製到 r[k] 中，並令 i 和 k 分別加上 1；否則將第二個有序表中的元素 a[j] 複製到 r[k] 中，並令 j 和 k 分別加上 1，如此迴圈下去，直到其中一個有序表取完，然後再將另一個有序表中剩餘的元素複製到 r 中從下標 k 到下標 t 的單元。歸併排序的演算法我們通常用遞迴實現，先把待排序區間 [s,t] 以中點二分，接著把左邊子區間排序，再把右邊子區間排序，最後把左區間和右區間用一次歸併操作合併成有序的區間 [s,t]。

二、歸併操作：

歸併操作(merge)，也叫歸併演算法，指的是將兩個順序序列合併成一個順序序列的方法。

如　設有數列{6，202，100，301，38，8，1}

初始狀態：6 , 202 , 100 , 301 , 38 , 8，1

第一次歸併後：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比較次數：3；

第二次歸併後：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比較次數：4；

第三次歸併後：{1,6,8,38,100,202,301},比較次數：4；

總的比較次數為：3+4+4=11,；

逆序數為14；

三、演算法描述：

歸併操作的工作原理如下：

第一步：申請空間，使其大小為兩個已經排序序列之和，該空間用來存放合併後的序列

第二步：設定兩個指標，最初位置分別為兩個已經排序序列的起始位置

第三步：比較兩個指標所指向的元素，選擇相對小的元素放入到合併空間，並移動指標到下一位置

重複步驟3直到某一指標超出序列尾

將另一序列剩下的所有元素直接複製到合併序列尾

演算法實現：

我們先來看看主函式部分：

//交換函式
function swap(array &$arr,$a,$b){
    $temp = $arr[$a];
    $arr[$a] = $arr[$b];
    $arr[$b] = $temp;
}

//歸併演算法總函式
function MergeSort(array &$arr
 
){
    $start = 0;
    $end = count($arr) - 1;
    MSort($arr,$start,$end);
}

在總函式中，我們只調用了一個 MSort() 函式，因為我們要使用遞迴呼叫，所以將 MSort() 封裝起來。

下面我們來看看 MSort() 函式：

function MSort(array &$arr,$start,$end){
    //當子序列長度為1時，$start == $end，不用再分組
    if($start < $end){
        $mid = floor(($start + $end) / 2);	//將 $arr 平分為 $arr[$start - $mid] 和 $arr[$mid+1 - $end]
        MSort($arr,$start,$mid);			//將 $arr[$start - $mid] 歸併為有序的$arr[$start - $mid]
        MSort($arr,$mid + 1,$end);			//將 $arr[$mid+1 - $end] 歸併為有序的 $arr[$mid+1 - $end]
        Merge($arr,$start,$mid,$end);       //將$arr[$start - $mid]部分和$arr[$mid+1 - $end]部分合並起來成為有序的$arr[$start - $end]
    }
}

上面的 MSort() 函式實現將陣列分半再分半（直到子序列長度為1），然後將子序列合併起來。

現在是我們的歸併操作函式 Merge() :

//歸併操作
function Merge(array &$arr,$start,$mid,$end){
    $i = $start;
    $j=$mid + 1;
    $k = $start;
    $temparr = array();

    while($i!=$mid+1 && $j!=$end+1)
    {
       if($arr[$i] >= $arr[$j]){
           $temparr[$k++] = $arr[$j++];
       }
       else{
           $temparr[$k++] = $arr[$i++];
       }
    }

    //將第一個子序列的剩餘部分新增到已經排好序的 $temparr 陣列中
    while($i != $mid+1){
        $temparr[$k++] = $arr[$i++];
    }
    //將第二個子序列的剩餘部分新增到已經排好序的 $temparr 陣列中
    while($j != $end+1){
        $temparr[$k++] = $arr[$j++];
    }
    for($i=$start; $i<=$end; $i++){
        $arr[$i] = $temparr[$i];
    }
}

到了這裡，我們的歸併演算法就完了。我們呼叫試試：

$arr = array(9,1,5,8,3,7,4,6,2);
MergeSort($arr);
var_dump($arr);

複雜度分析：

由於歸併演算法無論原來的序列是否有序都會進行分組和比較，因此它的最好、最壞、平均的時間複雜度都是 O(nlogn)。

歸併演算法是一種穩定的排序演算法。

本篇部落格參考自《大話資料結構》。