樹狀陣列例題(poj2299)
阿新 • • 發佈:2019-01-02
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樹狀陣列,具體的說是 離散化+樹狀陣列。這也是學習樹狀陣列的第一題.
演算法的大體流程就是:
1.先對輸入的陣列離散化,使得各個元素比較接近,而不是離散的,
2.接著,運用樹狀陣列的標準操作來累計陣列的逆序數。
樹狀陣列,具體的說是 離散化+樹狀陣列。這也是學習樹狀陣列的第一題.
演算法的大體流程就是:
1.先對輸入的陣列離散化,使得各個元素比較接近,而不是離散的,
2.接著,運用樹狀陣列的標準操作來累計陣列的逆序數。
演算法詳細解釋:
1.解釋為什麼要有離散的這麼一個過程? 剛開始以為999.999.999這麼一個數字,對於int儲存型別來說是足夠了。 還有隻有500000個數字,何必要離散化呢? 剛開始一直想不通,後來明白了,後面在運用樹狀陣列操作的時候, 用到的樹狀陣列C[i]是建立在一個有點像位儲存的陣列的基礎之上的, 不是單純的建立在輸入陣列之上。 比如輸入一個9 1 0 5 4,那麼C[i]樹狀陣列的建立是在, 資料:9 1 0 5 4 p[i].val 編號:1 2 3 4 5 p[i].oder = i************* sort 資料:0 1 4 5 9 編號:3 2 5 4 1 順序:1 2 3 4 5 a[p[i].編號] = 順序號;********************** a[3] = 1<--0; a[2] = 2<--1; a[5] = 3<--4; a[4] = 4<--5; a[1] = 5<--9; a[]={ 5 2 1 4 3 } 新號:1 2 3 4 5 值 : 下標 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 陣列 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 現在由於999999999這個數字相對於500000這個數字來說是很大的, 所以如果用陣列位儲存的話,那麼需要999999999的空間來儲存輸入的資料。 這樣是很浪費空間的,題目也是不允許的,所以這裡想通過離散化操作, 使得離散化的結果可以更加的密集。 簡言之就是開一個大小為這些數的最大值的樹狀陣列 2. 怎麼對這個輸入的陣列進行離散操作? 離散化是一種常用的技巧,有時資料範圍太大,可以用來放縮到我們能處理的範圍; 因為其中需排序的數的範圍0---999 999 999;顯然陣列不肯能這麼大; 而N的最大範圍是500 000;故給出的數一定可以與1.。。。N建立一個一一對映; (1)當然用map可以建立,效率可能低點; (2)這裡用一個結構體 struct Node { int val,pos; }p[510000];和一個數組a[510000]; 其中val就是原輸入的值,pos是下標; 然後對結構體按val從小到大排序; 此時,val和結構體的下標就是一個一一對應關係, 而且滿足原來的大小關係; for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].pos]=i; 然後a陣列就儲存了原來所有的大小資訊; 比如 9 1 0 5 4 ------- 離散後aa陣列 就是 5 2 1 4 3; 具體的過程可以自己用筆寫寫就好了。 3. 離散之後,怎麼使用離散後的結果陣列來進行樹狀陣列操作,計算出逆序數? 如果資料不是很大, 可以一個個插入到樹狀陣列中, 每插入一個數, 統計比他小的數的個數, 對應的逆序為 i- sum( a[i] ), 其中 i 為當前已經插入的數的個數, sum( a[i] )為比 a[i] 小的數的個數, i- sum( a[i] ) 即比 a[i] 大的個數, 即逆序的個數 但如果資料比較大,就必須採用離散化方法 假設輸入的陣列是9 1 0 5 4, 離散後的結果a[] = {5,2,1,4,3}; 在離散結果中間結果的基礎上,那麼其計算逆序數的過程是這麼一個過程。 1.輸入5, 呼叫add(5, 1),把第5位設定為1 1 2 3 4 5 0 0 0 0 1 計算1-5上比5小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(5) = 1操作, 現在用輸入的下標1 -sum(5) = 0 就可以得到對於5的逆序數為0。 2. 輸入2, 呼叫add(2, 1),把第2位設定為1 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 計算1-2上比2小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(2) = 1操作, 現在用輸入的下標2 - sum(2) = 1 就可以得到對於2的逆序數為1。 3. 輸入1, 呼叫add(1, 1),把第1位設定為1 1 2 3 4 5 1 1 0 0 1 計算1-1上比1小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(1) = 1操作, 現在用輸入的下標 3 -sum(1) = 2 就可以得到對於1的逆序數為2。 4. 輸入4, 呼叫add(4, 1),把第5位設定為1 1 2 3 4 5 1 1 0 1 1 計算1-4上比4小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(4) = 3操作, 現在用輸入的下標4 - sum(4) = 1 就可以得到對於4的逆序數為1。 5. 輸入3, 呼叫add(3, 1),把第3位設定為1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 計算1-3上比3小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(3) = 3操作, 現在用輸入的下標5 - sum(3) = 2 就可以得到對於3的逆序數為2。 6. 0+1+2+1+2 = 6 這就是最後的逆序數 分析一下時間複雜度,首先用到快速排序,時間複雜度為O(NlogN), 後面是迴圈插入每一個數字,每次插入一個數字,分別呼叫一次add()和sum() 外迴圈N, add()和sum()時間O(logN) => 時間複雜度還是O(NlogN)
/************************************************ ┆ ┏┓ ┏┓ ┆ ┆┏┛┻━━━┛┻┓ ┆ ┆┃ ┃ ┆ ┆┃ ━ ┃ ┆ ┆┃ ┳┛ ┗┳ ┃ ┆ ┆┃ ┃ ┆ ┆┃ ┻ ┃ ┆ ┆┗━┓ ┏━┛ ┆ ┆ ┃ ┃ ┆ ┆ ┃ ┗━━━┓ ┆ ┆ ┃ AC代馬 ┣┓┆ ┆ ┃ ┏┛┆ ┆ ┗┓┓┏━┳┓┏┛ ┆ ┆ ┃┫┫ ┃┫┫ ┆ ┆ ┗┻┛ ┗┻┛ ┆ ************************************************ */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N=5e5+10; struct node{ int val; int pos; }p[N]; int n,bit[N],a[N]; bool cmp(const node&a, const node& b){ return a.val<b.val; } void add(int i){ while(i<=n){ bit[i]+=1; i+=i&-i; } } int sum(int i){ int s=0; while(i>0){ s+=bit[i]; i-=i&-i; } return s; } void solve(){ for(int i=1; i<=n; i++){ scanf("%d",&p[i].val); p[i].pos=i; } sort(p+1,p+n+1,cmp);//排序 for(int i=1; i<=n; i++)a[p[i].pos]=i;//離散化 ll ans=0; for (int i=1; i<=n; i++) bit[i]=0; //初始化樹狀陣列 for(int i=1; i<=n; i++){ add(a[i]); ans+=i-sum(a[i]); } printf("%I64d\n",ans); } int main(){ while(~scanf("%d",&n)&&n){ solve(); } return 0; }