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樹狀陣列例題(poj2299)

傳送門:POJ-2299 Ultra-QuickSort
樹狀陣列,具體的說是 離散化+樹狀陣列。這也是學習樹狀陣列的第一題.
演算法的大體流程就是:
1.先對輸入的陣列離散化,使得各個元素比較接近,而不是離散的,
2.接著,運用樹狀陣列的標準操作來累計陣列的逆序數。

演算法詳細解釋:

1.解釋為什麼要有離散的這麼一個過程?
    剛開始以為999.999.999這麼一個數字,對於int儲存型別來說是足夠了。
    還有隻有500000個數字,何必要離散化呢?
    剛開始一直想不通,後來明白了,後面在運用樹狀陣列操作的時候,
    用到的樹狀陣列C[i]是建立在一個有點像位儲存的陣列的基礎之上的,
    不是單純的建立在輸入陣列之上。
    比如輸入一個9 1 0 5 4,那麼C[i]樹狀陣列的建立是在,

    資料:9 1 0 5 4  p[i].val
    編號:1 2 3 4 5  p[i].oder = i*************
    sort
    資料:0 1 4 5 9
    編號:3 2 5 4 1
    順序:1 2 3 4 5

    a[p[i].編號] = 順序號;**********************
    
    a[3] = 1<--0;
    a[2] = 2<--1;
    a[5] = 3<--4;
    a[4] = 4<--5;
    a[1] = 5<--9;
      
    a[]={ 5 2 1 4 3 }

    新號:1 2 3 4 5
    值  :

    下標 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    陣列 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
    現在由於999999999這個數字相對於500000這個數字來說是很大的,
    所以如果用陣列位儲存的話,那麼需要999999999的空間來儲存輸入的資料。
    這樣是很浪費空間的,題目也是不允許的,所以這裡想通過離散化操作,
    使得離散化的結果可以更加的密集。
    簡言之就是開一個大小為這些數的最大值的樹狀陣列
2. 怎麼對這個輸入的陣列進行離散操作?
   離散化是一種常用的技巧,有時資料範圍太大,可以用來放縮到我們能處理的範圍;
   因為其中需排序的數的範圍0---999 999 999;顯然陣列不肯能這麼大;
   而N的最大範圍是500 000;故給出的數一定可以與1.。。。N建立一個一一對映;
   (1)當然用map可以建立,效率可能低點;
   (2)這裡用一個結構體
   struct Node
   {
      int val,pos;
   }p[510000];和一個數組a[510000];

   其中val就是原輸入的值,pos是下標;
   然後對結構體按val從小到大排序;

   此時,val和結構體的下標就是一個一一對應關係,
   而且滿足原來的大小關係;

   for(i=1;i<=N;i++)
   a[p[i].pos]=i;

   然後a陣列就儲存了原來所有的大小資訊;
   比如 9 1 0 5 4 ------- 離散後aa陣列
   就是 5 2 1 4 3;
   具體的過程可以自己用筆寫寫就好了。

3. 離散之後,怎麼使用離散後的結果陣列來進行樹狀陣列操作,計算出逆序數?
    如果資料不是很大, 可以一個個插入到樹狀陣列中,
    每插入一個數, 統計比他小的數的個數,
    對應的逆序為 i- sum( a[i] ),
    其中 i 為當前已經插入的數的個數,
    sum( a[i] )為比 a[i] 小的數的個數,
    i- sum( a[i] ) 即比 a[i] 大的個數, 即逆序的個數
    但如果資料比較大,就必須採用離散化方法
    假設輸入的陣列是9 1 0 5 4, 離散後的結果a[] = {5,2,1,4,3};
在離散結果中間結果的基礎上,那麼其計算逆序數的過程是這麼一個過程。
1.輸入5,   呼叫add(5, 1),把第5位設定為1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
計算1-5上比5小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(5) = 1操作,
現在用輸入的下標1 -sum(5) = 0 就可以得到對於5的逆序數為0。
2. 輸入2, 呼叫add(2, 1),把第2位設定為1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
計算1-2上比2小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(2) = 1操作,
現在用輸入的下標2 - sum(2) = 1 就可以得到對於2的逆序數為1。
3. 輸入1, 呼叫add(1, 1),把第1位設定為1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
計算1-1上比1小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(1) = 1操作,
現在用輸入的下標 3 -sum(1) = 2 就可以得到對於1的逆序數為2。
4. 輸入4, 呼叫add(4, 1),把第5位設定為1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
計算1-4上比4小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(4) = 3操作,
現在用輸入的下標4 - sum(4) = 1 就可以得到對於4的逆序數為1。
5. 輸入3, 呼叫add(3, 1),把第3位設定為1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
計算1-3上比3小的數字存在麼? 這裡用到了樹狀陣列的sum(3) = 3操作,
現在用輸入的下標5 - sum(3) = 2 就可以得到對於3的逆序數為2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 這就是最後的逆序數
分析一下時間複雜度,首先用到快速排序,時間複雜度為O(NlogN),
後面是迴圈插入每一個數字,每次插入一個數字,分別呼叫一次add()和sum()
外迴圈N, add()和sum()時間O(logN) => 時間複雜度還是O(NlogN)
/************************************************
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┆   ┗┻┛ ┗┻┛ ┆      
************************************************ */ 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using  namespace std;
typedef  long  long  ll;
const int N=5e5+10;

struct  node{
  int val;
  int pos;
}p[N];

int n,bit[N],a[N];

bool cmp(const node&a, const node& b){
  return a.val<b.val;
}

void add(int i){
  while(i<=n){
    bit[i]+=1;
    i+=i&-i;
  }
}

int sum(int i){
  int s=0;
  while(i>0){
    s+=bit[i];
    i-=i&-i;
  }
  return s;
}

void solve(){
  for(int i=1; i<=n; i++){
    scanf("%d",&p[i].val);
    p[i].pos=i;
  }
  sort(p+1,p+n+1,cmp);//排序
  for(int i=1; i<=n; i++)a[p[i].pos]=i;//離散化
  ll ans=0;
  for (int i=1; i<=n; i++) bit[i]=0;   //初始化樹狀陣列
  for(int i=1; i<=n; i++){
    add(a[i]);
    ans+=i-sum(a[i]);
  }
  printf("%I64d\n",ans);
}

int main(){
  while(~scanf("%d",&n)&&n){
    solve();
  }
  return 0;
}