時間序列之AR(自迴歸模型)
一個序列經過預處理被識別為平穩非白噪聲序列，那就說明該序列是一個蘊含著相關資訊的平穩序列。在統計上我們通常是建立一個線性的模型來擬合該序列的發展，藉此提取該序列中的有用資訊，ARMA是目前最常用的平穩序列擬合模型。
AR模型
具有下列結構的模型稱為p階自迴歸模型：
當
AR模型平穩性差別
要擬合一個平穩序列的發展，用來擬合的模型顯然也應該是平穩的。AR模型是常用的平穩序列的擬合模型之一，但並非所有的AR模型都是平衡的。
R提供了多種序列擬合模型，這裡是最常用的兩種。
arima.sim函式擬合
這是一個便捷的序列擬合函式，它可以擬合平衡AR序列，MA序列、平衡ARMA序列，以及ARIMA序列。
式中：
arima.sim(n,list(ar= ,ma= ,order=),sd=)
-n:擬合序列長度
-list:指定具體的模型常數，其中：
（1）擬合平穩AR（p）模型，要給出自迴歸係數。如果指定擬合的AR模型是非平穩模型，系統會報錯。
（2）擬合MA（q）模型，要給出移動平均係數。
（3）擬合平穩ARMA(p,q)模型，除了需要給出自迴歸係數與移動平均係數。如果指定擬合的ARMA模型為非平穩模型，系統會報錯。
（4）擬合ARIMA（p,d,q）模型，除了需要給出的自迴歸係數和移動平均係數，還需要新增order選項.order = c(p,d,q),p為自迴歸係數，d為差分系數，q為移動平均階數。
-sd:指定序列的標準差，不特殊指定，系統預設：sd = 1.
filter函式可以擬合AR序列（無論是否平穩）和MA序列.filter函式的命令格式為：
filter(e,filter =,method =,circular =)
-e:隨機波動序列的變數名
-filter:指定模型係數，其中
(1)AR(P)模型為filter = c(o1,o2,…,op);
(2)MA(q)模型為filter = c(1,-o1,-o2,…,-oq);
-method:指定擬合AR模型還是MA模型
(1)method= “recursive”為AR模型
(2)method= “convolution”為MA模型
-circular:擬合MA模型時專用的一個選項，circular = T，可以避免NA資料出現。
考察如下四個序列的序列值，並繪製時序圖：
（一）第一個式子
x1 = arima.sim(n=100,list(ar=0.8))
ts.plot(x1)
可以看出這個模型是平穩的
（三）第三個式子
x3 = arima.sim(n=100,list(ar=c(1,-0.5)))
ts.plot(x3)
可以看出這個模型是平穩的
（二）第二個式子
e = rnorm(100)
x2 = filter(e,filter = -1.1,method = "recursive")
ts.plot(x2)
可以看出這個模型是非平穩的
（四）第四個式子
e = rnorm(100)
x4 = filter(e,filter= c(1,0.5),method = "recursive")
ts.plot(x4)
可以看出這個模型是平穩的
圖示法是一種粗糙的直觀判別方法，我們有了兩種準確的平穩差別方法：特徵根判別和平穩域判別。
特徵根判別
實際上是要求AR(p)模型的p個特徵根都在單位圓內，所以AR（p）模型平穩的充要條件是它的p個特徵根都在單位圓內。
根據特徵根和自迴歸係數多項式的根成倒數的性質，AR模型平穩的等價判別條件是該AR模型的自迴歸係數的多項式的根，都在單位圓外。平穩域差別
對於一個AR（p）模型而言，如果沒有平穩性的要求，實際也意味著對引數向量沒有任何限制，它們可以取遍p維歐式空間的任意一點，但是如果加了平穩性限制，引數向量就只能取p維歐式空間的一個子集，使得特徵根都在單位圓的係數集合，稱為AR(p)模型的平穩域。
對於低階AR模型用平穩域的方法判別更加簡便。
（1）AR(1)平穩域是【-1，1】
（2）AR(2)平穩域是一個三角型區域
分別用特徵根法判別三個模型：
特徵根與平穩域判別法
自相關係數的性質
1.一是拖尾性。
2.指數衰減。
考查如下四個平穩的AR模型的自相關圖
x1 = arima.sim(n=1000,list(ar=0.8))
acf(x1)
x2 = arima.sim(n=1000,list(ar=-0.8))
acf(x2)
x3 = arima.sim(n=1000,list(ar=c(1,-0.5)))
acf(x3)
x4 = arima.sim(n=1000,list(ar=c(-1,-0.5)))
acf(x4 )
從圖中可以看出， 這四個平穩的AR模型，不論他們是AR1模型還是AR2模型，不論他們的特徵根是實根還是復根，是正根還是負根，它們的自相關性都呈現出拖尾性與呈指數衰減到零值附近的性質。
但是由於特徵根的不同，它們自相關係數的衰減方式不一樣，有的自相關係數是按指數衰減到零（如模型1），有的是正負間的衰減（如模型2），還有些自迴歸係數會呈現出類似週期性的餘弦衰減，即具有“偽週期”特徵（如模型3），這些都是平穩模型自相關性常見的特徵。
偏相關性係數
對於一個平穩AR（p）模型，求出滯後k自相關係數時，實際上並不是x(t)與x(t-k)之間單純的相關關係，因為x(t)同時還會受到中間(k-1) 個隨機變數的影響，而這（k-1）個隨機變數又都和x(t-k)具有相關關係，所以自相關係數裡實際上摻雜了其他變數對x(k)和x(t-k)的相關影響，為了單純了測量x(t-k)對x(k)的影響，引進的偏自相關性係數的概率。
平穩的AR(p)模型的偏自相關係數具有p步截尾性。
pacf(x1)
pacf(x2)
pacf(x3)
pacf(x4)
由於樣本的隨機性，樣本偏自相關係數不會和理論偏自相關係數一樣嚴格截尾，但是可以看出兩個AR（1）模型的樣本偏自相關係數1階顯著不為0，1階之後都近似為0，而兩個AR（2）模型的樣本的偏自相關係數，2階之後都近似
為零。樣本的偏自相關圖可以直觀的驗證AR模型偏自相關係數截尾性。