比較演算法排序

證明過程

1. 通過排序樹，我們將陣列的比較過程分解（兩數相比得到的結果將為二叉樹）
   則所有的葉節點的排列順序為可能的排列順序（若有$n$個元素，則排列個數為$n!$）
   則決策樹的規模為指數級。（論文中出現的虛擬碼雖然及其難懂但長度較為固定）
2. 則最差情況為我們所需即$\Omega$，即為證二叉排序樹的高度即$O(n\lg n)$¹

3. 設我們當前的二叉樹高度為$h$，則葉節點的個數最多有$2^h$個即：
   $\mathcal{leaves} \le 2^h$
4. 由1可知，我們所得樹的葉子節點為$n!$ ，則有：
   $n!$
   ≤2hn! \le 2^h
5. 由於兩邊均大於$0$，兩邊取對數則有：
   $\log n! \le h$
6. 根據斯特林公式²得：

$\log\sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n \le h$

7. 整理得：
   $n (\log n - \log e)\le h$
8. 當$n$為無窮大時 $\log e，\log \sqrt{2\pi n}$為常數則：
   $h= \Omega(n\log n)$

故，諸如QuickSort等比較排序得最佳時間複雜度為$\Theta(n\log n)$