[BZOJ2138]stone[霍爾定理+線段樹]
題意
一共有 \(n\) 堆石子,每堆石子有一個數量 \(a\) ,你要進行 \(m\) 次操作,每次操作你可以在滿足前 \(i-1\) 次操作的回答的基礎上選擇在 \([L_i,R_i]\) 區間中拿走至多 \(b\) 顆石子,保證區間不存在包含關系,求每次你最多拿走多少顆石子。
\(n\le 4\times 10^4\)
分析
二分圖匹配復雜度太高,考慮霍爾定理。
假設某次操作時我們已經知道了每次操作取走多少顆石子,我們選擇判斷的操作集合一定是按 \(L\) 排序之後連續的(因為能夠選擇的區間不相互包含),根據霍爾定理可以得到:
\[\sum\limits_{i=l}^rb(i)\le\sum\limits_{i=L(l)}^{R(r)}a(i)\]
\[sb(r)-sb(l-1)\le sa(R(r))-sa(L(l)-1)\]
其中 \(sa,sb\) 表示 \(a,b\) 的前綴和。
將位置相同的信息放到一起:
\[sb(r)-sa(R(r))\le sb(l-1)-sa(L(l)-1)\]
記 \(C(i)=sb(i)-sa(R(i))\),\(D=sb(i-1)-sa(L(i)-1)\)。
按照時間順序處理操作。記某次操作按照 \(L\) 排序後所處的位置為 \(p\) 。拿走石子影響的一定是跨越 \(p\) 的連續區間。查詢 \(p\) 右邊操作的 \(C\) 的最大值 \(x\) 和左邊 \(D\) 的最小值 \(y\) ,由於要滿足 \(x\le y\)
假設我們得到了這次的答案 \(ans\) ,維護 \(C\) 的線段樹中 \([p,m]\) 區間和維護 \(D\) 的線段樹中 \([p+1,m]\) 區間的 \(sb\) 都增加了 \(ans\) ,線段樹區間修改即可。
總時間復雜度為 \(O(nlogn)\)。
代碼
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; #define go(u) for(int i = head[u], v = e[i].to; i; i=e[i].lst, v=e[i].to) #define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i) #define pb push_back #define re(x) memset(x, 0, sizeof x) inline int gi() { int x = 0,f = 1; char ch = getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();} while(isdigit(ch)) { x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar();} return x * f; } template <typename T> inline void Max(T &a, T b){if(a < b) a = b;} template <typename T> inline void Min(T &a, T b){if(a > b) a = b;} const int N = 4e4 + 7; int n, m; int a[N], R[N], L[N], sa[N], k[N], tt[N], rk[N]; #define Ls o << 1 #define Rs (o << 1 | 1) struct sgt { int adv[N << 2], val[N << 2], id; void st1(int o, int v) { adv[o] += v; val[o] += v; } void pushdown(int o) { if(adv[o]) { st1(Ls, adv[o]); st1(Rs, adv[o]); } adv[o] = 0; } void pushup(int o) { if(!id) val[o] = max(val[Ls], val[Rs]); else val[o] = min(val[Ls], val[Rs]); } void build(int l, int r, int o) { if(l == r) { if(!id) val[o] = -sa[R[tt[l]]]; else val[o] = -sa[L[tt[l]] - 1]; return; }int mid = l + r >> 1; build(l, mid, Ls); build(mid + 1, r, Rs); pushup(o); } void modify(int L, int R, int l, int r,int o, int v) { if(L > R) return; if(L <= l && r <= R) { st1(o, v); return; } pushdown(o);int mid = l + r >> 1; if(L <= mid) modify(L, R, l, mid, Ls, v); if(R > mid) modify(L, R, mid + 1, r, Rs, v); pushup(o); } int query(int L, int R, int l, int r, int o) { if(L > R) return 0; if(L <= l && r <= R) return val[o]; pushdown(o);int mid = l + r >> 1; if(R <= mid) return query(L, R, l, mid, Ls); if(L > mid) return query(L, R, mid + 1, r, Rs); if(!id) return max(query(L, R, l, mid, Ls), query(L, R, mid + 1, r, Rs)); else return min(query(L, R, l, mid, Ls), query(L, R, mid + 1, r, Rs)); } }t[2]; bool cmp(int a, int b) { return L[a] < L[b]; } int main() { n = gi(); int x = gi(), y = gi(), z = gi(), P = gi(); rep(i, 1, n) { a[i] = ((i - x) * (i - x) + (i - y) * (i - y) + (i - z) * (i - z)) % P; sa[i] = sa[i - 1] + a[i]; } m = gi(), k[1] = gi(), k[2] = gi(), x = gi(), y = gi(), z = gi(), P = gi(); if(!m) return 0; rep(i, 3, m) { k[i] = (x * k[i - 1] + y * k[i - 2] + z) % P; } rep(i, 1, m) L[i] = gi(), R[i] = gi(); rep(i, 1, m) tt[i] = i; sort(tt + 1, tt + 1 + m, cmp); rep(i, 1, m) rk[tt[i]] = i; t[1].id = 1; t[0].build(1, m, 1); t[1].build(1, m, 1); rep(i, 1, m) { int a = t[0].query(rk[i], m, 1, m, 1), b = t[1].query(1, rk[i], 1, m, 1); int ans = min(b - a, k[i]); printf("%d\n", ans); t[0].modify(rk[i], m, 1, m, 1, ans); t[1].modify(rk[i] + 1, m, 1, m, 1, ans); } return 0; }
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