斐波那契數列的幾種求解方式和複雜度分析
現在我們去面試，面試官要求我們使用Java寫出求解斐波那契數列指定項的函式，可能乍一聽很簡單，我們在大一的c語言課上就學過遞迴求解斐波那契數列的指定項，於是大筆一揮，寫下如下的第一種解法：
一、遞迴求解斐波那契數列
恩，我們考慮了程式碼的魯棒性，考慮了n小於0時候的特殊處理，我們也能通過這個函式算出斐波那契數列指定項，但是面試官一定不會滿意。我們來分析以下這個程式碼的缺點：public static long fibonacci(int n){ if(n<0) throw new IllegalArgumentException("Illegal Index"); else if(n == 0) return 0; else if(n == 1) return 1; else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
1、遞迴本質上是棧，當引數達到一定大小的時候會發生棧移出；
2、從演算法實現上來分析，我們要計算fibonacci(n)就需要計算fibonacci(n-1)和fibonacci(n-2)，計算fibonacci(n-1)需要計算fibonacci(n-2)和fibonacci(n-3)，計算fibonacci(n-2)需要計算fibonacci(n-3)和fibonacci(n-4)......實際上把這個遞迴演算法的遞迴樹畫出來，我們會發現很多樹結點是重複，也就是我們本來可以不重複計算那麼多次；
3、從時間複雜度上來分析，很明顯n時的複雜度：f(n)=f(n-1)+f(n-2) 為數學上的二階常係數差分方程，並且為齊次方程。它的時間複雜度為Ω(ф^n)，其中ф為黃金分割數(√5 + 1)/2，Ω表示演算法複雜度最小是這麼多。也就是說這個演算法的複雜度為指數級的複雜度，指數級的時間複雜度我們怎麼能容忍？
因此這樣的演算法只適合幫助我們理解遞迴，不適合用來真正求解斐波那契數列。
二、從下往上計算，根據f(0)和f(1)計算出f(2)，根據f(1)和f(2)計算出f(3)，直到計算出第n項
使用這種方式，我們杜絕了大量的重複計算，使用中間值把需要的前兩次計算的結果儲存起來，下次要用直接查詢使用，而不是再次計算。這樣優化之後的演算法時間複雜度為O(n)，也就是最多為n，明顯比遞迴要好上不少。但是到這裡就結束了嗎？不是的，我們還有第三種思路。public static long fibonacci(int n){ if(n < 0){ throw new IllegalArgumentException("Illegal Index"); } else if(n == 0) return 0; else if(n == 1) return 1; long fibnoacciNMinusOne = 1; long fibnoacciNMinusTwo = 0; long fibN = 0; for(int i = 2; i<=n; i++){ fibN = fibnoacciNMinusOne + fibnoacciNMinusTwo; fibnoacciNMinusTwo = fibnoacciNMinusOne; fibnoacciNMinusOne = fibN; } return fibN; }
三、利用數學公式的時間複雜度O(logn)的演算法
在程式碼實現之前，我們需要推導一個公式，首先來看一下斐波那契數列的遞推公式：
根據這個公式我們可以得到一個公式：
而且當n=2的時候，以上的公式也是成立的，因此上面的公式在n>=2的時候總成立，所以我們可以得到另一個公式：
我們可以用這個公式來計算斐波那契數列。如果我們從0開始，直到n-1計算矩陣的n-1次冪，時間複雜度仍然是O(n)，並不比上面的第二種演算法快，我們先實現這種O(n)複雜度的演算法：
public static long fibonacci(int n){
if(n<0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");
long[][] basicMatrix = {{1,1},{1,0}};
long[][] matrix = calPowerOfMatrix(basicMatrix, n-1);
return matrix[0][0];
}
private static long[][] calPowerOfMatrix(long[][] matrix, int n){//計算matrix與{{1,1},{1,0}}矩陣的n次冪的乘積
for(int i = 0; i<n-1 ; i++){
long a = matrix[0][0];
long b = matrix[0][1];
long c = matrix[1][0];
long d = matrix[1][1];
matrix[0][0] = a + b;
matrix[0][1] = a;
matrix[1][0] = c + d;
matrix[1][1] = c;
}
return matrix;
}但是乘方是具有以下性質的：
利用這個性質，我們可以利用這個公式使用二分法來遞迴實現斐波那契數列的求解，複雜度可以達到O(logn):
private static long[][] calPowerOfMatrix(long[][] matrix, int n) {
if (n < 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");
else if (n == 1)
return matrix;
else if (n % 2 == 0)// n為偶數
// 如果n為偶數，就計算matrix的n/2次冪的2次冪
return calSquareOfMatrix((calPowerOfMatrix(matrix, n >> 1)));
else// n為奇數
// 如果n為奇數，就計算matrix的n/2次冪的2次冪再乘以matrix
return calBasicMutipyOfMatrix(calSquareOfMatrix(calPowerOfMatrix(matrix, (n - 1) >> 1)));
}
private static long[][] calBasicMutipyOfMatrix(long[][] matrix) {// 計算matrix與{{1,1},{1,0}}的乘積
long a = matrix[0][0];
long b = matrix[0][1];
long c = matrix[1][0];
long d = matrix[1][1];
matrix[0][0] = a + b;
matrix[0][1] = a;
matrix[1][0] = c + d;
matrix[1][1] = c;
return matrix;
}
private static long[][] calSquareOfMatrix(long[][] matrix){//計算matrix的平方
long a = matrix[0][0];
long b = matrix[0][1];
long c = matrix[1][0];
long d = matrix[1][1];
matrix[0][0] = a*a + b*c;
matrix[0][1] = a*b + b*d;
matrix[1][0] = a*c + c*d;
matrix[1][1] = b*c + d*d;
return matrix;
}
public static long fibonacci(int n) {
if (n < 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Index");
long[][] basicMatrix = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
long[][] matrix = calPowerOfMatrix(basicMatrix, n - 1);
return matrix[0][0];
}