【圖論】最短路徑
題目描述
平面上有n個點(n<=100)，每個點的座標均在-10000～10000之間。其中的一些點之間有連線。若有連線，則表示可從一個點到達另一個點，即兩點間有通路，通路的距離為兩點間的直線距離。現在的任務是找出從一點到另一點之間的最短路徑。
輸入
第1行：1個整數n
第2..n+1行：每行2個整數x和y，描述了一個點的座標
第n+2行：1個整數m，表示圖中連線的數量
接下來有m行，每行2個整數i和j，表示第i個點和第j個點之間有連線
最後1行：2個整數s和t，分別表示源點和目標點
輸出
第1行：1個浮點數，表示從s到t的最短路徑長度，保留2位小數
樣例輸入
5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5
樣例輸出
3.41
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我們可以用勾股定理，將每兩個點的權值算出來（兩點之間沒有邊的為∞），完成構圖。
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求最短路的四種演算法（u[i][j]為連線i與j的邊的權值， dis[i][j]為從i到j的最短路徑長度，dis[i]為從起點至i的最短路徑，s為起點，e為終點）：
一、Floyd演算法
演算法步驟：
1、初始化。使dis[i][j] = u[i][j];
2、依次列舉中間點k；
3、如果dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]，則將dis[i][j]替換；
4、dis[s][e]為最終答案。
注意：外層迴圈一定要列舉k。
for(int k = 1; k <= n; k++)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}二、Dijkstra演算法
演算法步驟：
1、初始化。使dis[i] = u[s][i];
2、從所有未被訪問的節點中選擇dis最小的那一個；
3、重新計算dis[i]的最短路徑長；
4、給現在被選中的節點打上標記。
5、dis[e]為最終答案。
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int p = 0, j, mins = 1 << 30;
for(j = 1; j <= n; j++)
{
if(!v[j] && dis[j] < mins)
p = j, mins = dis[j];
}
if(!p)
return 0;
v[p] = 1;
for(j = 1; j <= n; j++)
dis[j] = min(dis[j], dis[p] + u[p][j]);
}三、Bellman-Ford演算法
演算法步驟：
1、給每一個點編號；
2、依次每句每一條邊，更新dis[i]的最短距離；
3、dis[e]為最終答案。
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= E; j++)
dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w[j]); //u和p表示gaibian
}四、SPFA演算法
演算法步驟：
1、將目前的點加入佇列；
2、取出隊首元素；
3、若通過該點可更新另一個點dis[i]的值，則進行4，否則執行3，直到連線該點的所有邊列舉完；
4、若該點不在佇列中，則將該點加入佇列；
5、dis[e]為最後答案。
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int p = queue.front();
queue.pop();
v[p] = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(dis[j] > dis[p] + w[p][j])
{
dis[j] = dis[p] + w[p][j];
if(!v[j])
{
v[j] = 1;
queue.push(j);
}
}
}