1、最短路徑問題的抽象

• 在網路中，求兩個不同頂點之間的所有路徑中，邊的權值之和最小的那一條路徑
  • 這條路徑就是兩點之間的最短路徑（Shortest Path）
  • 第一個頂點為源點（Source）
  • 最後一個頂點為終點（Destination）

2、問題分類

• 單源最短路徑問題：從某固定源點出發，求其到所有其他頂點的最短路徑
  • （有向）無權圖
  • （有向）有權圖
• 多源最短路徑問題：求任意兩頂點間的最短路徑

3、無權圖的單源最短路演算法

• 按照遞增（非遞減）
  的順序找出到各個頂點的最短路
  

無權圖的單源最短路演算法

void Unweighted(Vertex S)
{
	Enqueue(S, Q);
	while (!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		for (V 的每個鄰接點W)
			if (dist[W] == -1)
			{
				dist[W] = dist[V] + 1;
				path[W] = V;
				Enqueue(W, Q);
			}
	}
}

dist[W]：S到W的最短距離，初始化時，初始化為不可能的數，這裡初始化為-1
dist[S]：0
path[W]

下圖所示，源點為V₃，經過上面的演算法，每一個頂點都被標記的到源點的距離，從每一個頂點反向推可以得到源點到該點最短路徑經過的頂點。

時間複雜度：

如果有|V|個頂點和|E|條邊的圖用鄰接表儲存，則
T = O( |V| + |E| )
每個頂點入棧一次，出棧一次，每條邊被訪問一次

4、有權圖的單源最短路演算法（Dijkstra演算法）

這裡不考錄負值圈

按照遞增的順序找出到各個頂點的最短路

Dijkstra 演算法

• 令S={源點s + 已經確定了最短路徑的頂點v_i
  }（先將路徑較小的頂點收錄進來，如剩下未收錄的頂點中路徑分別為3，5，2，無窮大，則下一步將距離為2的收錄進來）
• 對任一未收錄的頂點v，定義dist[v]為s到v的最短路徑長度，但該路徑僅經過S中的頂點。即路徑的最小長度（注意：這裡的最短路徑不是最終的最短路徑，隨著其他頂點加進來，dist[v]會逐漸變小，最終成為最終的最短路徑）
• 若路徑是按照遞增（非遞減）的順序生成的，則
  • 真正的最短路必須只經過S中的頂點（為什麼？）
  • 每次從未收錄的頂點中選一個dist最小的收錄（貪心）
  • 增加一個v進入S，可能影響另外一個w的dist值！
  • dist[w] = min{dist[w], dist[v] + <v,w>的權重}

1. 真正的最短路必須只經過S中的頂點，原因如下：
   現在假設在集合S之外存在一個頂點w，使得s經w到到v的距離小於s直接到v的距離，則s到w的距離一定小於s到v的距離。下一步，我們要收錄頂點v，s到w的距離小於s到v的距離，頂點w應該在v之前被收錄到集合S中了，自相矛盾。

2. 如果收錄v使得s到w的路徑變短，則：s到w的路徑一定經過v，並且v到w有一條邊，原因如下：
   
   現在假設v到w的路徑上還有一點a，則s到a的路徑長度一定大於s到v的路徑長度，由於若路徑是按照遞增（非遞減）的順序生成的，所以a的收錄應該在點v之後，自相矛盾。

3. Dijkstra演算法中的dist應該如何初始化？
   如果s到w有直接的邊，則dist[w]=<s,w>的權重；否則dist[w]定義為正無窮

//不能解決有負邊的情況
void Dijkstra(Vertex s)
{
	while (1)
	{
		V = 未收錄頂點中dist最小者;
		if (這樣的V不存在)
			break;
		collected[V] = true;
		for (V 的每個鄰接點W)
			if (collected[W] == false)
				if (dist[V] + E<V, W> < dist[W])
				{
					dist[W] = dist[V] + E<V, W>;
					path[W] = V;
				}
	}
}

有權圖的單源最短路演算法時間複雜度

• 方法1：直接掃描所有未收錄頂點– O( |V| )

  • T = O( |V|2 + |E| )
  • 對於稠密圖效果好

• 方法2：將dist存在最小堆中– O( log|V| )

  • 更新dist[w]的值– O( log|V| )
  • T = O( |V| log|V| + |E| log|V| ) = O( |E| log|V| )
  • 對於稀疏圖效果好

5、多源最短路演算法

• 方法1：直接將單源最短路演算法呼叫|V|遍
  • T = O( |V|3 + |E|*|V|)
  • 對於稀疏圖效果好
• Floyd演算法
  • T = O( |V|3 )
  • 對於稠密圖效果好

Floyd 演算法

• D^k[i][j] = 路徑{ i → { l<=k } → j }的最小長度，i到j的最短路徑，只經過編號小於等於k的頂點。

• D⁰, D¹, …, D^|V|-1[i][j]即給出了i到j的真正最短距離

• 最初的D^-1是什麼？

• 當D^k-1已經完成，遞推到D^k時：

  • 或者k不屬於最短路徑{ i → { l<=k } → j }，則D^k= D^k-1
  • 或者k屬於最短路徑{ i → { l<=k } → j }，則該路徑必定由兩段最短路徑組成： D^k[i][j]=D^k-1[i][k]+D^k-1[k][j]

i到j的頂點路徑經過頂點k時，i到j的頂點路徑包括兩段，i到k，k到j，這兩段距離中間都不包含k，所以應該在k-1步的時候已經求出。

D矩陣應該初始化：帶權的鄰接矩陣，對角元是0；如果i和j之間有直接邊相連，初始化為邊的權重，沒有直接的邊，D[i][j]應該定義為正無窮

void Floyd()
{
	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = 0; j < N; j++)
		{//初始化就是鄰接矩陣，有相鄰節點初始化為權重，
		//沒有直接邊相連，初始化為正無窮，對角元素為0，就是鄰接矩陣
			D[i][j] = G[i][j];
			path[i][j] = -1;
		}
	for (k = 0; k < N; k++)
		for (i = 0; i < N; i++)
			for (j = 0; j < N; j++)
				if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j])
				{
					D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
					path[i][j] = k;
				}
}

根據path列印路徑，path[i][j]=k;表示從結點i到結點j要經過結點k，遞迴呼叫，從節點i到節點k要經過那些頂點，從節點k到節點j要經過哪些頂點，最終得到路徑。