如題，在推薦系統中我們在推薦給使用者的商品中一定是需要先後順序的，即我們需要關心的是使用者將會更喜歡我們所推薦的商品，從而得到–個性化排序。但是沒錯，前幾篇所整理的方法目的也是為了預測使用者喜好，但往往我們只能通過觀察到的正例去估計暗含著負例與缺失值的“？”中，而實際填充也如上圖一樣，一般用0做填充。然後基於此計算出得分，從某種意義上也可以得到使用者優先順序的排序，所以首先同樣的我們需要解決的問題還是：
對於使用者集U和物品集I的對應的 U × I 的預測排序矩陣 X，避免矩陣分解所需要的稠密性，同樣採取分解為兩個矩陣，即： $\stackrel{}{X}$

‾ = W H T \overline{X} = WH^T 然後同樣需要尋找最好的W和H，使其與真正X的誤差最小，但是與先前的

SVD不同，不是嘗試對專案打分再排序，而且從整個思想上進行優化，所以作為先驗與後驗的橋樑----貝葉斯的思想。

**首先為了排序，引入三元組的概念：即如果使用者u在同時有物品 i 和 j 的時候點選了 i，那麼定義三元組<u,i,j><u,i,j>，即對使用者u來說，i 的排序要比 j 靠前。如上圖中，在左側顯示了觀測資料和一些未知的“？”資料，三元組處理後，變成在右側的，“+” 表示使用者更喜歡項 i 大於 j 項；“-” 表示更喜歡j而不是i。

基於使用者的全序關係的貝葉斯就變成：
$P$

( θ ∣ &gt; u ) = P ( &gt; u ∣ θ ) P ( θ ) P ( &gt; u ) P(\theta|&gt;_u) = \frac{P(&gt;_u|\theta)P(\theta)}{P(&gt;_u)}
其中W和H用 $\theta$表示，為了得到最好的W，H，即得到最好的 $\theta$，需要優化後面的這一堆，同樣的分母（某使用者的全序，對所有的都是物品一樣）一樣，可以先捨去不考慮。那麼對於分子第一項可以有最大似然估計： $\prod_{u \in U}P(&gt;_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in (U \times I \times I)}P(i &gt;_u j|\theta)^{\delta((u,i,j) \in D)}(1-P(i &gt;_u j|\theta))^{\delta((u,j,i) \not\in D) }$其中 $\delta(b)= \begin{cases} 1&amp; {if\; b\; is \;true}\\ 0&amp; {else} \end{cases}$
P(i >u j | θ)即<u,i,j>，i 排名高於 j。
但是其實，既然是排序–定義使 i 大於 j，那麼就使P(i >u j|θ)出現的概率越大越好就行了。那麼 $P(i &gt;_u j|\theta) = \sigma(\overline{x}_{uij}(\theta))，其中\sigma函式用於優化計算$而且如果要是一方的概率越大，那麼另一方就小就好，那麼自然期望他們之間的差異就越大即： $\overline{x}_{uij} = \overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}$而且這就已經直接是預測矩陣X中的對應位置的值了。即分子第一項變為： $\prod_{u \in U}P(&gt;_u|\theta) = \prod_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj})$
然後分子第二項 $P(\theta)$，直接使用貝葉斯假設，即 $\theta$ 符合正太分佈，而總所周知，正太分佈的對數形式是跟 $||\theta||^2$成比的！(除了優化式子外，居然還能曲線救國，漂亮的完成了正則化的作用？？所以直接假設使用引數符合正太分佈的操作設計很巧妙呀）那麼整個下來的的式子就直接變成了： $ln\;P(\theta|&gt;_u) \propto ln\;P(&gt;_u|\theta)P(\theta) = ln\;\prod\limits_{(u,i,j) \in D} \sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + ln P(\theta) = \sum\limits_{(u,i,j) \in D}ln\sigma(\overline{x}_{ui} - \overline{x}_{uj}) + \lambda||\theta||^2\;$