教你初步瞭解紅黑樹
教你初步瞭解紅黑樹
作者：July、saturnman 2010年12月29日
本文參考：Google、演算法導論、STL原始碼剖析、計算機程式設計藝術。
推薦閱讀：
一、紅黑樹的介紹
先來看下演算法導論對R-B Tree的介紹：
紅黑樹，一種二叉查詢樹，但在每個結點上增加一個儲存位表示結點的顏色，可以是Red或Black。
通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個結點著色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的。
紅黑樹，作為一棵二叉查詢樹，滿足二叉查詢樹的一般性質。下面，來了解下 二叉查詢樹的一般性質。
二叉查詢樹
二叉查詢樹，也稱有序二叉樹（ordered binary tree），或已排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹：
- 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
- 若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
- 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹。
- 沒有鍵值相等的節點（no duplicate nodes）。
因為一棵由n個結點隨機構造的二叉查詢樹的高度為lgn，所以順理成章，二叉查詢樹的一般操作的執行時間為O(lgn)。但二叉查詢樹若退化成了一棵具有n個結點的線性鏈後，則這些操作最壞情況執行時間為O(n)。
紅黑樹雖然本質上是一棵二叉查詢樹，但它在二叉查詢樹的基礎上增加了著色和相關的性質使得紅黑樹相對平衡，從而保證了紅黑樹的查詢、插入、刪除的時間複雜度最壞為O(log n)。
但它是如何保證一棵n個結點的紅黑樹的高度始終保持在logn的呢？這就引出了紅黑樹的5個性質：
- 每個結點要麼是紅的要麼是黑的。
- 根結點是黑的。
- 每個葉結點（葉結點即指樹尾端NIL指標或NULL結點）都是黑的。
- 如果一個結點是紅的，那麼它的兩個兒子都是黑的。
- 對於任意結點而言，其到葉結點樹尾端NIL指標的每條路徑都包含相同數目的黑結點。
正是紅黑樹的這5條性質，使一棵n個結點的紅黑樹始終保持了logn的高度，從而也就解釋了上面所說的“紅黑樹的查詢、插入、刪除的時間複雜度最壞為O(log n)”這一結論成立的原因。
（注：上述第3、5點性質中所說的NULL結點，包括wikipedia.演算法導論上所認為的葉子結點即為樹尾端的NIL指標，或者說NULL結點。然百度百科以及網上一些其它博文直接說的葉結點，則易引起誤會，因，此葉結點非子結點
如下圖所示，即是一顆紅黑樹()：
此圖忽略了葉子和根部的父結點。同時，上文中我們所說的 "葉結點" 或"NULL結點"，如上圖所示，它不包含資料而只充當樹在此結束的指示，這些節點在繪圖中經常被省略，望看到此文後的讀者朋友注意。
二、樹的旋轉知識
當在對紅黑樹進行插入和刪除等操作時，對樹做了修改可能會破壞紅黑樹的性質。為了繼續保持紅黑樹的性質，可以通過對結點進行重新著色，以及對樹進行相關的旋轉操作，即通過修改樹中某些結點的顏色及指標結構，來達到對紅黑樹進行插入或刪除結點等操作後繼續保持它的性質或平衡的目的。
樹的旋轉分為左旋和右旋，下面藉助圖來介紹一下左旋和右旋這兩種操作。
1.左旋
如上圖所示，當在某個結點pivot上，做左旋操作時，我們假設它的右孩子y不是NIL[T]，pivot可以為任何不是NIL[T]的左子結點。左旋以pivot到Y之間的鏈為“支軸”進行，它使Y成為該子樹的新根，而Y的左孩子b則成為pivot的右孩子。
LeftRoate(T, x)
y ← x.right //定義y：y是x的右孩子
x.right ← y.left //y的左孩子成為x的右孩子
if y.left ≠ T.nil
y.left.p ← x
y.p ← x.p //x的父結點成為y的父結點
if x.p = T.nil
then T.root ← y
else if x = x.p.left
then x.p.left ← y
else x.p.right ← y
y.left ← x //x作為y的左孩子
x.p ← y2.右旋
右旋與左旋差不多，再此不做詳細介紹。
樹在經過左旋右旋之後，樹的搜尋性質保持不變，但樹的紅黑性質則被破壞了，所以，紅黑樹插入和刪除資料後，需要利用旋轉與顏色重塗來重新恢復樹的紅黑性質。
至於有些書如《STL原始碼剖析》有對雙旋的描述，其實雙旋只是單旋的兩次應用，並無新的內容，因此這裡就不再介紹了，而且左右旋也是相互對稱的，只要理解其中一種旋轉就可以了。
三、紅黑樹的插入
要真正理解紅黑樹的插入，還得先理解二叉查詢樹的插入。磨刀不誤砍柴工，咱們再來了解一下二叉查詢樹的插入和紅黑樹的插入。
如果要在二叉查詢樹中插入一個結點，首先要查詢到結點要插入的位置，然後進行插入。假設插入的結點為z的話，插入的虛擬碼如下：
TREE-INSERT(T, z)
y ← NIL
x ← T.root
while x ≠ NIL
do y ← x
if z.key < x.key
then x ← x.left
else x ← x.right
z.p ← y
if y == NIL
then T.root ← z
else if z.key < y.key
then y.left ← z
else y.right ← z紅黑樹的插入和插入修復
現在我們瞭解了二叉查詢樹的插入，接下來，咱們便來具體瞭解下紅黑樹的插入操作。紅黑樹的插入相當於在二叉查詢樹插入的基礎上，為了重新恢復平衡，繼續做了插入修復操作。
假設插入的結點為z，紅黑樹的插入虛擬碼具體如下所示：
RB-INSERT(T, z)
y ← nil
x ← T.root
while x ≠ T.nil
do y ← x
if z.key < x.key
then x ← x.left
else x ← x.right
z.p ← y
if y == nil[T]
then T.root ← z
else if z.key < y.key
then y.left ← z
else y.right ← z
z.left ← T.nil
z.right ← T.nil
z.color ← RED
RB-INSERT-FIXUP(T, z)把上面這段紅黑樹的插入程式碼，跟之前看到的二叉查詢樹的插入程式碼比較一下可以看出，RB-INSERT(T, z)前面的第1～13行程式碼基本上就是二叉查詢樹的插入程式碼，然後第14～16行程式碼把z的左孩子和右孩子都賦為葉結點nil，再把z結點著為紅色，最後為保證紅黑性質在插入操作後依然保持，呼叫一個輔助程式RB-INSERT-FIXUP來對結點進行重新著色，並旋轉。
換言之，如果插入的是根結點，由於原樹是空樹，此情況只會違反性質2，因此直接把此結點塗為黑色；如果插入的結點的父結點是黑色，由於此不會違反性質2和性質4，紅黑樹沒有被破壞，所以此時什麼也不做。
但當遇到下述3種情況時又該如何調整呢？
● 插入修復情況1：如果當前結點的父結點是紅色且祖父結點的另一個子結點（叔叔結點）是紅色
● 插入修復情況2：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的右子
● 插入修復情況3：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的左子
RB-INSERT-FIXUP(T, z)
while z.p.color == RED
do if z.p == z.p.p.left
then y ← z.p.p.right
if y.color == RED
then z.p.color ← BLACK ▹ Case 1
y.color ← BLACK ▹ Case 1
z.p.p.color ← RED ▹ Case 1
z ← z.p.p ▹ Case 1
else if z == z.p.right
then z ← z.p ▹ Case 2
LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2
z.p.color ← BLACK ▹ Case 3
z.p.p.color ← RED ▹ Case 3
RIGHT-ROTATE(T, z.p.p) ▹ Case 3
else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
T.root.color ← BLACK下面，咱們來分別處理上述3種插入修復情況。
- 插入修復情況1：當前結點的父結點是紅色，祖父結點的另一個子結點（叔叔結點）是紅色。
如下程式碼所示：
while z.p.color == RED
do if z.p == z.p.p.left
then y ← z.p.p.right
if y.color == RED此時父結點的父結點一定存在，否則插入前就已不是紅黑樹。與此同時，又分為父結點是祖父結點的左孩子還是右孩子，根據對稱性，我們只要解開一個方向就可以了。這裡只考慮父結點為祖父左孩子的情況，如下圖所示（勘誤：圖中15節點應改為13，特此說明，下同）：
對此，我們的解決策略是：將當前節點的父節點和叔叔節點塗黑，祖父結點塗紅，把當前結點指向祖父節點，從新的當前節點重新開始演算法。即如下程式碼所示：
then z.p.color ← BLACK ▹ Case 1
y.color ← BLACK ▹ Case 1
z.p.p.color ← RED ▹ Case 1
z ← z.p.p ▹ Case 1 所以，變化後如下圖所示：
於是，插入修復情況1轉換成了插入修復情況2。
- 插入修復情況2：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的右子
此時，解決對策是：當前節點的父節點做為新的當前節點，以新當前節點為支點左旋。即如下程式碼所示：
else if z == z.p.right
then z ← z.p ▹ Case 2
LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2變化成：
從而插入修復情況2轉換成了插入修復情況3。
- 插入修復情況3：當前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，當前節點是其父節點的左孩子
解決對策是：父節點變為黑色，祖父節點變為紅色，在祖父節點為支點右旋，操作程式碼為：
z.p.color ← BLACK ▹ Case 3
z.p.p.color ← RED ▹ Case 3
RIGHT-ROTATE(T, z.p.p) ▹ Case 3最後，把根結點塗為黑色，整棵紅黑樹便重新恢復了平衡。所以紅黑樹由之前的：
變化成：
「回顧：經過上面情況3、情況4、情況5等3種插入修復情況的操作示意圖，讀者自會發現，後面的情況4、情況5都是針對情況3插入節點4以後，進行的一系列插入修復情況操作，不過，指向當前節點N指標一直在變化。所以，你可以想當然的認為：整個下來，情況3、4、5就是一個完整的插入修復情況的操作流程」
四、紅黑樹的刪除
接下來，咱們最後來了解，紅黑樹的刪除操作。
"我們刪除的節點的方法與常規二叉搜尋樹中刪除節點的方法是一樣的，如果被刪除的節點不是有雙非空子女，則直接刪除這個節點，用它的唯一子節點頂替它的位置，如果它的子節點分是空節點，那就用空節點頂替它的位置，如果它的雙子全為非空，我們就把它的直接後繼節點內容複製到它的位置，之後以同樣的方式刪除它的後繼節點，它的後繼節點不可能是雙子非空，因此此傳遞過程最多隻進行一次。”
二叉查詢樹的刪除
繼續講解之前，補充說明下二叉樹結點刪除的幾種情況，待刪除的節點按照兒子的個數可以分為三種：
- 沒有兒子，即為葉結點。直接把父結點的對應兒子指標設為NULL，刪除兒子結點就OK了。
- 只有一個兒子。那麼把父結點的相應兒子指標指向兒子的獨生子，刪除兒子結點也OK了。
- 有兩個兒子。這是最麻煩的情況，因為你刪除節點之後，還要保證滿足搜尋二叉樹的結構。其實也比較容易，我們可以選擇左兒子中的最大元素或者右兒子中的最小元素放到待刪除節點的位置，就可以保證結構的不變。當然，你要記得調整子樹，畢竟又出現了節點刪除。習慣上大家選擇左兒子中的最大元素，其實選擇右兒子的最小元素也一樣，沒有任何差別，只是人們習慣從左向右。這裡咱們也選擇左兒子的最大元素，將它放到待刪結點的位置。左兒子的最大元素其實很好找，只要順著左兒子不斷的去搜索右子樹就可以了，直到找到一個沒有右子樹的結點。那就是最大的了。
二叉查詢樹的刪除程式碼如下所示：
TREE-DELETE(T, z)
1 if left[z] = NIL or right[z] = NIL
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ NIL
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 if x ≠ NIL
8 then p[x] ← p[y]
9 if p[y] = NIL
10 then root[T] ← x
11 else if y = left[p[y]]
12 then left[p[y]] ← x
13 else right[p[y]] ← x
14 if y ≠ z
15 then key[z] ← key[y]
16 copy y's satellite data into z
17 return y紅黑樹的刪除和刪除修復
OK，回到紅黑樹上來，紅黑樹結點刪除的演算法實現是：
RB-DELETE(T, z) 單純刪除結點的總操作
1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ nil[T]
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 p[x] ← p[y]
8 if p[y] = nil[T]
9 then root[T] ← x
10 else if y = left[p[y]]
11 then left[p[y]] ← x
12 else right[p[y]] ← x
13 if y ≠ z
14 then key[z] ← key[y]
15 copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17 then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
18 return y “在刪除節點後，原紅黑樹的性質可能被改變，如果刪除的是紅色節點，那麼原紅黑樹的性質依舊保持，此時不用做修正操作，如果刪除的節點是黑色節點，原紅黑樹的性質可能會被改變，我們要對其做修正操作。那麼哪些樹的性質會發生變化呢，如果刪除節點不是樹唯一節點，那麼刪除節點的那一個支的到各葉節點的黑色節點數會發生變化，此時性質5被破壞。如果被刪節點的唯一非空子節點是紅色，而被刪節點的父節點也是紅色，那麼性質4被破壞。如果被刪節點是根節點，而它的唯一非空子節點是紅色，則刪除後新根節點將變成紅色，違背性質2。”
RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢復與保持紅黑性質的工作
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x ← p[x] ▹ Case 2
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4
22 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK “上面的修復情況看起來有些複雜，下面我們用一個分析技巧：我們從被刪節點後來頂替它的那個節點開始調整，並認為它有額外的一重黑色。這裡額外一重黑色是什麼意思呢，我們不是把紅黑樹的節點加上除紅與黑的另一種顏色，這裡只是一種假設，我們認為我們當前指向它，因此空有額外一種黑色，可以認為它的黑色是從它的父節點被刪除後繼承給它的，它現在可以容納兩種顏色，如果它原來是紅色，那麼現在是紅+黑，如果原來是黑色，那麼它現在的顏色是黑+黑。有了這重額外的黑色，原紅黑樹性質5就能保持不變。現在只要恢復其它性質就可以了，做法還是儘量向根移動和窮舉所有可能性。"--saturnman。
如果是以下情況，恢復比較簡單：
- a)當前節點是紅+黑色
解法，直接把當前節點染成黑色，結束此時紅黑樹性質全部恢復。 - b)當前節點是黑+黑且是根節點， 解法：什麼都不做，結束。
但如果是以下情況呢？：
- 刪除修復情況1：當前節點是黑+黑且兄弟節點為紅色(此時父節點和兄弟節點的子節點分為黑)
- 刪除修復情況2：當前節點是黑加黑且兄弟是黑色且兄弟節點的兩個子節點全為黑色
- 刪除修復情況3：當前節點顏色是黑+黑，兄弟節點是黑色，兄弟的左子是紅色，右子是黑色
- 刪除修復情況4：當前節點顏色是黑-黑色，它的兄弟節點是黑色，但是兄弟節點的右子是紅色，兄弟節點左子的顏色任意
此時，我們需要呼叫RB-DELETE-FIXUP(T, x)，來恢復與保持紅黑性質的工作。
下面，咱們便來分別處理這4種刪除修復情況。
刪除修復情況1：當前節點是黑+黑且兄弟節點為紅色(此時父節點和兄弟節點的子節點分為黑)。
解法：把父節點染成紅色，把兄弟結點染成黑色，之後重新進入演算法（我們只討論當前節點是其父節點左孩子時的情況）。此變換後原紅黑樹性質5不變，而把問題轉化為兄弟節點為黑色的情況(注：變化前，原本就未違反性質5，只是為了把問題轉化為兄弟節點為黑色的情況)。 即如下程式碼操作：
//呼叫RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的1-8行程式碼
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1變化前：
變化後：
刪除修復情況2：當前節點是黑加黑且兄弟是黑色且兄弟節點的兩個子節點全為黑色。
解法：把當前節點和兄弟節點中抽取一重黑色追加到父節點上，把父節點當成新的當前節點，重新進入演算法。（此變換後性質5不變），即呼叫RB-INSERT-FIXUP(T, z) 的第9-10行程式碼操作，如下：
//呼叫RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的9-11行程式碼
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x p[x] ▹ Case 2變化前
變化後
刪除修復情況3：當前節點顏色是黑+黑，兄弟節點是黑色，兄弟的左子是紅色，右子是黑色。
解法：把兄弟結點染紅，兄弟左子節點染黑，之後再在兄弟節點為支點解右旋，之後重新進入演算法。此是把當前的情況轉化為情況4，而性質5得以保持，即呼叫RB-INSERT-FIXUP(T, z) 的第12-16行程式碼，如下所示：
//呼叫RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的第12-16行程式碼
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3變化前：
變化後：
刪除修復情況4：當前節點顏色是黑-黑色，它的兄弟節點是黑色，但是兄弟節點的右子是紅色，兄弟節點左子的顏色任意。
解法：把兄弟節點染成當前節點父節點的顏色，把當前節點父節點染成黑色，兄弟節點右子染成黑色，之後以當前節點的父節點為支點進行左旋，此時演算法結束，紅黑樹所有性質調整正確，即呼叫RB-INSERT-FIXUP(T, z)的第17-21行程式碼，如下所示：
//呼叫RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的第17-21行程式碼
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4變化前：
變化後：
最後值得一提的是上述刪除修復的情況1~4都只是樹的區域性，並非樹的整體全部，且刪除修復情況3、4在經過上面的調整後，調整還沒結束（還得繼續調整直至重新恢復平衡，只是圖並沒有畫出來）。
後面會繼續修改完善下本文，感謝關注，thanks。
July、二零一四年九月十五日修訂。
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之前在學校寢室畫紅黑樹畫了好幾個鐘頭，貼倆張圖：
紅黑樹插入修復的3種情況：
紅黑樹刪除修復的4種情況：
updated