直接插入排序

1 基本原理

1 核心思想：插入排序通過構建有序序列，對於未排序資料，在已排序序列中從後向前掃描，找到相應位置並插入 ，如此重複，直至完成序列排序。
2 演算法分析：
1. 從序列第一個元素開始，該元素可以認為已經被排序
2. 取出下一個元素，設為待插入元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描，如果該元素（已排序）大於待插入元素，將該元素移到下一位置。
3. 重複步驟2，直到找到已排序的元素小於或者等於待排序元素的位置，插入元素
4. 重複2，3步驟，完成排序。

2 例項說明

如上圖所示，以一組資料{12，15，9，20，6，31，24} 為例，進行直接插入排序的演算法演示：

1. 預設序列第一個元素12 以及被排序。
2. 取下一元素 15 從後往前與已排序序列一次比較，15插入12 之後，已排序序列為[12，15]。
3. 取下一元素9，重複2步驟，將9插12 之前，已排序序列為[9，12，15]。
4. 迴圈上述操作，直至最後一個元素24，插入合適位置，完成排序。

3 程式碼實現

// 直接插入排序(C++)
void InsertSort(vector<int> &vi)
{
    for(int i=1;i<vi.size();i++) 
    {
        int temp=vi[i];
        int j;
        for
 
(j=i-1;j>=0&&temp<vi[j];j--)
        {
            vi[j+1]=vi[j]；     //將較大元素後移
        }

        vi[j+1]=temp;        //temp插入正確的位置

    }
}

演算法改進：二分插入排序
二分查詢插入排序的原理：是直接插入排序的一個變種，區別是：在有序區中查詢新元素插入位置時，為了減少元素比較次數提高效率，採用二分查詢演算法進行插入位置的確定。

演算法分析：
設陣列為a[0…n]。
1. 將原序列分成有序區和無序區。a[0…i-1]為有序區，a[i…n] 為無序區。（i從1開始）
2. 從無序區中取出第一個元素，即a[i]，使用二分查詢演算法在有序區中查詢要插入的位置索引j。
3. 將a[j]到a[i-1]的元素後移，並將a[i]賦值給a[j]。
4. 重複步驟2~3，直到無序區元素為0。

// 二分插入排序
void BinInsertSort(vector<int> &vi)
{
    for(int i=1;i<vi.size();i++)
    {
        int left=0;
        int right=i-1;
        int temp=vi[i]
        while(left<=right)
        {
            int mid=(left+right)/2; //二分割槽域
            if(vi[mid]>temp)
            {
                right=mid-1;       //向左縮小區域
            }
            else
            {
                left=mid+1;        //向右縮小區域
            }
        }

        for(int j=i-1;j>left;j--)  //vi[left,i-1]的元素整體後移
        {
            vi[j+1]=vi[j];
        }
        vi[left]=temp;
    }
}

4 效能分析

• 1 時間複雜度：
  （1）順序排列時，只需比較(n-1)次，插入排序時間複雜度為O(n)；
  （2）逆序排序時，需比較n(n-1)/2次，插入排序時間複雜度為O(n^2)；
  （3）當原始序列雜亂無序時，平均時間複雜度為O(n^2)。
• 2 空間複雜度：
  插入排序過程中，需要一個臨時變數temp儲存待排序元素，因此空間複雜度為O(1)。
• 3 演算法穩定性：
  插入排序是一種穩定的排序演算法。