筆記

       本節給出一個尋找鋼條最優切割方案的問題。公司購買長鋼條，將其切割為短鋼條出售。為簡化分析，假設切割過程本身沒有成本，並且切割下來的短鋼條長度都為一英寸的整數倍。下表給出了不同長度的鋼條的價格。

       鋼條切割問題：給定一根長度為n英寸的長鋼條，求最優切割方案，使得銷售收益最大。注意，最優方案也有可能是完全不用切割。

      長度為n英寸的鋼條有種切割方案，因為在距離鋼條左端i (i = 1, 2, … , n-1)英寸處，我們總是可以選擇切割或不切割。但是在實際求解過程中，可以不用遍歷這種切割方案，而採用某種方法可以將該問題分解為規模更小的子問題，以下是求解該問題的方法：

• 我們將鋼條從左端切下長度為 i 的一段，其中i =1, 2, … , n，有n種切法，我們對這一段不再進行切割，該段的銷售收益為；
• 而右端剩下的長度為n-i，對這一段再進行切割，這是一個規模更小的子問題，其銷售收益為。

       上圖比較直觀地展示了求解方法。顯然，我們可以得到最優收益

       由上面的過程，我們引出了動態規劃的第一個基本特點：所求解的問題滿足最優子結構，問題可以分解為規模更小的子問題，問題的最優解依賴於子問題的最優解，並且這些子問題可以獨立求解。

       根據上面的公式，我們自然而然地可以用遞迴的方式寫出程式碼。

       下圖顯示了CUT-ROD在n

       我們來分析CUT-ROD的執行時間。令T(n)表示引數為n時CUT-ROD的呼叫次數。T(n)等於遞迴樹中根為n的子樹中的結點總數，因此有

       令T(0) = 1，可以求解得到。所以，CUT-ROD有一個指數級別的時間複雜度。顯然，CUT-ROD的時間效率是很低的，原因是相同的子問題被重複多次求解了。

       為了得到一個時間效率更高的演算法，我們可以對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。如果遞迴過程中再次需要子問題的解，只需要查詢已儲存的結果，而不必重新計算。由此我們又引出了動態規劃的第二個基本特點：相同的子問題只需要求解一次，如果子問題的解會被多次引用，可以將子問題的解儲存起來。

       下面給出了另一種方法。與上文的“自上而下”的遞迴方式不同，這種方法採用的是“自下而上”的方式。任何子問題的解都只依賴於規模更小的子問題。我們可以將子問題按照規模由小到大的順序進行求解。當求解某個子問題時，它所依賴的那些規模更小的子問題都已求解完畢，並且結果已經儲存。每個子問題也只需要求解一次。

       BOTTOM-TO-UP-CUT-ROD的核心實際上是一個巢狀迴圈，不難得出它的執行時間為。相比於程式碼一的指數增長的執行時間，BOTTOM-TO-UP-CUT-ROD的執行效率大為提高。

       上文給出的程式碼只能得到最優收益，而不能得到最優切割方案本身。我們需要在演算法計算最優收益的同時，記錄下最優的切割方案。下面給出程式碼。

練習

15.1-1 由公式(15.3)和初始條件T(0) = 1，證明公式(15.4)成立。

       解

       該問題實際上是要分析程式碼一的執行時間。

       用數學歸納法。初始條件取n = 0，有，顯然命題對於初始條件是成立的。

       現在考慮n > 0的情況。假設命題對所有1 ~ n-1的情況都成立，那麼有。命題得證。

15.1-2 舉反例證明下面的“貪心”策略不能保證總是得到最優切割方案。定義長度為 i 的鋼條的價格密度為，即每英寸的價格。貪心策略將長度為 n 的鋼條切割下長度為 i (1 ≤ i ≤ n)的一段，其價格密度最高。接下來繼續使用相同的策略切割長度為 n-i 的剩餘部分。

       解

       還是以上文的價格表為例，可以算出每種長度的價格密度，如下表所示。

       如果原始的鋼條長度為4。按照貪心策略，先切下長度為3的一段，因為長度不超過4的鋼條中，長度為3的鋼條的價格密度最高；然後剩下一段長度為1。這種切割方式的收益為。而實際上最優切割方案是切割為兩段長度為2的鋼條，所獲得的收益為10。因此，貪心策略是不可靠的。

15.1-3 我們對鋼條切割問題進行一點修改，除了切割下的鋼條段具有不同的價格 外，每次切割還要付出固定的成本c。這樣，切割方案的收益就等於短鋼條的價格之和減去切割成本。設計一個動態規劃演算法解決修改後的鋼條切割問題。

       解

       該問題仍然滿足上文提到的最優子結構。只需對演算法稍加修改，即在計算每種方案的收益時減去切割成本。因此，最優收益公式變成了

       需要注意的是，不切割的方案不會有切割成本。下面的程式碼是在上文程式碼三的基礎上修改的。

15.1-4 修改MEMOIZED-CUR-ROD，使之不僅返回最優收益值，還返回切割方案。

       解

15.1-5 斐波那契數列可以用遞迴式(3.22)定義。設計一個O(n)的時間的動態規劃演算法計算第n個斐波那契數。

       解

       最簡單的方法是直接採用遞迴的方式來計算Fn，如下面的程式碼所示。

       該演算法的執行時間滿足遞迴式T(n) = T(n-1)+ T(n-2)，假設初始條件為T(0) = 1，T(1) = 1。我們寫出從n到2的執行時間的遞迴式，得到以下方程組。

       將方程組中的每個方程相加，消去抵消項，得到

       這個遞迴式與習題15.1-1中要求解的遞迴式有幾乎相同的形式，可以推斷。因此，直接採用遞迴的方式來計算Fn，時間效率是很低下的。效率低下的原因也是重複求解了相同規模的子問題。為了提高時間效率，可以借鑑鋼條切割問題中的自下而上的求解方法。

       該演算法的核心是從2到 n 的迴圈迭代，這反映了自下而上的求解方法。每次迭代 i，只需要用到前兩個元素，即第 i-1 個元素和第 i-2 個元素。因此，僅需要用兩個區域性變數  和  來儲存第 i-1 個元素和第 i-2 個元素，並且每次迭代後更新這兩個區域性變數，而無需儲存從0到 n 的每個元素。顯然，這個演算法的時間複雜度為O(n)。

       本節相關的code可以到github上下載。