題目

一列火車n節車廂，依次編號為1,2,3,…,n。每節車廂有兩種運動方式，進棧與出棧，問n節車廂出棧的可能排列方式有多少種。
水水版：n<=100
普通版：n<=30000
加強版：n<=50000

題解

Catalan$Catalan$數列
給定n個0和n個1，它們按照某種順序排成長度為2n的序列，滿足任意字首中0的個數都不少於1的個數的序列的數量為：

那麼很顯然這題就是求Catalann$Catala{n}_n$了
然後發現數據好大。。。QwQ。。。emmmm…
優化+優化+優化+優化+…………!!!!!!!!!!
首先，上一個高精度
然後，壓一下高精度的位（4~8位）
接著，篩一下計算質因數所需的質數
下一步，統計每種質因數出現的數量（除法轉化為質因數數量的加減，而質因數數量的計算又要用奇奇怪怪的方法：1—n中共有n/i個約數i）
緊接著，上一個快速冪（直接把每個約數的次方計算出來）
最後，輸出！！

這個演算法效率還是很高的

程式碼

#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int max=5002;
int n,l,ss;
unsigned long long a[max];
int bz[100005],z[100005],b[100005];

unsigned long long ksm(int a,int b){
    int g=b;
    unsigned long long x=1,c=a;
    while (g){
        if (g&1) x=x*c;
        c*=c;
        g>>=1
 
;
    }
    return x;
}

int solve(int v,int l){
    int z=0,cc=l;
    while (l<=v){
        z+=v/l;
        l*=cc;
    }
    return z;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    if (n==1){printf("1");return 0;}    

    for (int i=2;i<=2*n;i++)
        if (!bz[i]){
            int k=2;
            z[++ss]=i;
            while (k*i<=2*n){
                bz[k*i]=1;
                k++;
            }
        }

    for (int i=1;i<=ss;i++)
        b[z[i]]-=solve(n-1,z[i]);
    for (int i=1;i<=ss;i++)
        b[z[i]]-=solve(n+1,z[i]);
    for (int i=1;i<=ss;i++)
        b[z[i]]+=solve(2*n-1,z[i]);
    b[2]++;     

    a[max-1]=1;l=max-1;
    for (int i=1;i<=ss;i++)
    if (b[z[i]]){
        unsigned long long k=ksm(z[i],b[z[i]]);
        unsigned long long x=0;
        for (int j=max-1;j>=l;j--){
            a[j]=a[j]*k+x;
            x=a[j]/100000000;
            a[j]%=100000000;
        }
        while (x){
            l--;
            a[l]=x%100000000;
            x/=100000000;
        }
    }
    printf("%d",a[l]);
    for (int i=l+1;i<=max-1;i++){
        if (a[i]<1) {printf("00000000");continue;}
        if (a[i]<10) {printf("0000000%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<100) {printf("000000%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<1000) {printf("00000%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<10000) {printf("0000%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<100000) {printf("000%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<1000000) {printf("00%d",a[i]);continue;}
        if (a[i]<10000000) {printf("0%d",a[i]);continue;}
        printf("%d",a[i]);
    }
}